陕西省西安市第三中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算÷的结果正确的是（ ）
A．4B．3C．2D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：÷＝＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
2．（3分）在平面直角坐标系中P（﹣3，4）到y轴的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．﹣3
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：P（﹣3，4）到y轴的距离是8．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
3．（3分）△ABC的三边分别为a，b，c，下列选项中的条件不能判定直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52B．∠A+∠B＝90°
C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝8，b＝15，c＝17
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵（32）6+（42）3≠（52）4，
∴a2+b2≠c5，
∴此三角形不是直角三角形，故符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故不符合题意；
C、∵b2＝64，c2＝100，a4＝36，∴a2+b2＝c4，
∴此三角形是直角三角形，故不符合题意；
D、∵b2＝225，c2＝289，a8＝64，∴a2+b2＝c8，
∴此三角形是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．（3分）一个正比例函数的图象经过点（3，﹣6），那么下列各点在函数图象上的是（ ）
A．（4，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣3，6）D．（6，﹣3）
【分析】先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再把各点坐标代入进行检验即可．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（3，﹣5），
∴﹣6＝3k，
解得k＝﹣8，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x，
当x＝4时，y＝﹣3×4＝﹣8≠5；
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣3）＝2≠﹣2；
当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣3）＝7；
当x＝6时，y＝﹣2×8＝﹣12≠﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一次函数一定是正比例函数
B．不是二元一次方程组
C．﹣27没有立方根
D．的平方根是±3
【分析】根据一次函数和正比例函数的定义、二元一次方程组的定义、平方根和立方根的定义对各选项进行判断，选出正确答案即可．
【解答】解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数；
B、是二元一次方程组；
C、﹣27的立方根是﹣3；
D、∵＝9，
∴的平方根是±5；
故选：D．
【点评】本题考查了次函数和正比例函数的定义、二元一次方程组的定义、平方根和立方根的定义等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的概念．
6．（3分）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＞0，则b＜0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴下方．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＞0，
∴b＜5，
∴图象与y轴的交点在x轴下方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．（3分）在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（3分）某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，下列说法错误的是（ ）
A．甲种消费卡为20元/次
B．y乙＝10x+100
C．点B的坐标为（10，200）
D．小明准备240元钱在该游泳馆消费，选择甲种卡消费卡划算
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求出两种消费卡对应的函数解析式，进而得出答案．
【解答】解：A、设甲对应的函数解析式为y甲＝kx，
∵点（5，100）在该函数图象上，
∴5k＝100，
解得k＝20，
即甲对应的函数解析式为y甲＝20x；
即甲种消费卡为20元/次，故选项A不符合题意；
B、设乙对应的函数解析式为y乙＝ax+b，
∵点（2，100），300）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙对应的函数解析式为y乙＝10x+100，故选项B不符合题意；
C、令20x＝10x+100，
解得x＝10，
即点B的坐标为（10，200）；
D、当y＝240时，乙可消费的次数为：（240﹣100）÷10＝14（次），
因为12＜14，
所以小明准备240元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择乙种消费卡划算．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）以下实数：，3.14，，﹣π，，中 ，﹣π， ．
【分析】根据无理数的概念即可得出答案．定义：无限不循环小数叫做无理数．
【解答】解：＝5，属于有理数；
在实数：，3.14，，，中，无理数是，．
故答案为：，﹣π，．
【点评】本题主要考查了无理数，算术平方根以及立方根，熟记无理数的定义是解决问题的关键．
10．（3分）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象为直线，则关于x的方程ax+b＝1的解x＝ 4 ．
【分析】根据一次函数图象可得一次函数y＝ax+b的图象经过（4，1）点，进而得到方程的解．
【解答】解：根据图象可得，一次函数y＝ax+b的图象经过（4，
因此关于x的方程ax+b＝1的解x＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
11．（3分）若是的解，则（a+b）（a﹣b）＝ ﹣2 ．
【分析】根据二元一次方程组的解的定义把代入中，得到关于a、b的方程组，然后直接相加、相减即可得出a+b、a﹣b的值，从而得出答案．
【解答】解：把代入中，得，
①+②，得7a+2b＝﹣2，
①﹣②，得5a﹣4b＝8，
∴（a+b）（a﹣b）＝﹣3×2＝﹣2，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求出a+b、a﹣b的值是解题的关键．
12．（3分）一次函数y＝kx+3的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移m个单位，使其不经过第一象限 m≥3 ．
【分析】先根据题意得出平移后的解析式．再由平移后的函数图象不经过第一象限得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3的图象不经过第三象限，
∴k＜0，
∴该函数图象向下平移m个单位的函数解析式为y＝kx+2﹣m，
∵函数图象平移后不经过第一象限，
∴3﹣m≤0，
解得m≥6．
故答案为：m≥3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD与x轴重合，点B坐标为（2，4），点E在AD边上且AE＝1，Q分别是AB边和BC边上的动点，则四边形DEPQ的周长最小值为 3+ ．
【分析】延长DC到点F，使CF＝CD，在OA的延长线上取一点H，使AH＝AE＝1，连接FQ、FH、PH，则BC垂直平分DF，AB垂直平分EH，所以DQ＝FQ，PH＝PE，因为B（2，4），所以CF＝CD＝AD＝AB＝4，则DE＝3，DH＝5，DF＝8，求得FH＝＝，由FQ+PQ+PH≥FH，得DE+DQ+PQ+PE≥3+，所以四边形DEPQ的周长最小值为3+，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长DC到点F，使CF＝CD，使AH＝AE＝1、FH，
∵四边形ABCD是正方形，边AD与x轴重合，
∴∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴BC垂直平分DF，AB垂直平分EH，
∴DQ＝FQ，PH＝PE，
∵B（2，6），
∴CF＝CD＝AD＝AB＝4，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣5＝3，DH＝AD+DH＝4+5＝5，
∴FH＝＝＝，
∵FQ+PQ+PH≥FH，
∴DE+DQ+PQ+PE≥DE+FH，
∴DE+DQ+PQ+PE≥3+，
∴四边形DEPQ的周长最小值为5+，
故答案为：3+．
【点评】此题重点考查坐标与图形性质、轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共11小题，计81分，解答应写出过程）
14．（8分）计算：
（1）；
（2）（﹣2）（+2）﹣×（﹣）．
【分析】（1）先去绝对值符号，把根式化为最简二次根式，再进行计算即可；
（2）先利用平方差公式及二次根式的乘法计算出各数，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1+3＝7；
（2）原式＝3﹣8﹣×+×
＝﹣1﹣+
＝﹣1﹣+
＝﹣4﹣6+4
＝﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1），
②×5得：9x﹣3y＝5③，
①+③得：11x＝11，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：3﹣y＝1，
解得：y＝2，
故原方程组的解是：；
（2），
①×3得：4x﹣6y＝21③，
②×2得：10x﹣6y＝16④，
③﹣④得：﹣x＝5，
解得：x＝﹣5，
把x＝﹣4代入①得：﹣15﹣2y＝7，
解得：y＝﹣11，
故原方程组的解是：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
16．（6分）已知一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，3）．
（1）关于x，y的方程组的解为 ；
（2）求a，b的值．
【分析】（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可；
（2）将代入方程组，求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（3，3），
∴关于x，y的方程组，
故答案为：；
（2）将代入方程组，得，
解得a＝8，b＝6．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
17．（6分）已知5的算术平方根是a，数据﹣2，1，﹣1，3，的小数部分是c．求（a﹣b）2+c的值．
【分析】根据算术平方根的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据无理数的估算可得c的值，再把a、b、c的值代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵5的算术平方根是a，
∴a＝，
把﹣8，1，﹣1，4，﹣1，1，2，5，
∵数据﹣2，3，﹣1，3，
∴b＝8，
∵，的小数部分是c，
∴c＝，
∴（a﹣b）2+c
＝
＝6﹣+6+
＝2．
【点评】本题考查了中位数，算术平方根，估算无理数的大小以及实数的运算，掌握相关定义求出a、b、c的值是解答本题的关键．
18．（7分）如图，△ABC三个顶点都在格点上．
（1）若点C的纵坐标不变，横坐标乘﹣1，所得的点与点C关于 y轴 对称．
（2）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并写出点A′的坐标．
（3）求△ABC中AC边上的高．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得出结论；
（2）根据轴对称的性质作图即可；
（3）先求出三角形的面积，以及AC的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）若点C的纵坐标不变，横坐标乘﹣1，
故答案为：y轴；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（3）S＝7，
∴△ABC中AC边上的高＝．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
19．（7分）某一天，蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖
（1）王大叔当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）他卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
【分析】（1）设批发了黄瓜x千克，茄子y千克，由题意：蔬菜经营户王大叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克以及表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）得结果和表中数据列式计算即可．
【解答】（1）解：设王大叔当天批发了黄瓜x千克，茄子y千克，
由题意得：，
 解得：，
答：王大叔当天批发了黄瓜30千克，茄子40千克；
（2）30×（5﹣5）+40×（4﹣2）＝100 （元），
答：王大叔卖完这些黄瓜和茄子共赚了100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（7分）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测量步骤如下：
①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长CF＝1.6m，旗杆正好在底座的正中间（B是CF的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时；
②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面
【分析】延长AB交DE于点H，则AH⊥DE，BH＝CD＝0.3m，DH＝BC，设旗杆AB长为x m，则绳子AM长为（x+0.8）m，在Rt△AMH中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：如图乙，延长AB交DE于点H，BH＝CD＝0.3m，
∵B是CF的中点，CF＝5.6m，
∴DH＝BC＝CF＝0.8m，
设旗杆AB长为x m，则绳子AM长为（x+5.8）m，
在Rt△AMH中，MH＝DM+DH＝2+3.8＝2.8（m），AH＝AB+BH＝（x+0.3）m，
由勾股定理得：6.82+（x+8.3）2＝（x+2.8）2，
解得：x＝4.29，
答：该校操场上旗杆的高度为7.29m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解题的关键．
21．（7分）某校迎来了一百二十年校庆，为了准备校庆，校方决定准备一场别开生面的文艺演出，舞蹈，小舞台剧等节目，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超出部分每套打7折，校方不用承担运费．
（1）分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式；
（2）如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少．
【分析】（1）分别根据两家公司的优惠条件写出对应函数关系式即可；
（2）将x＝180分别代入y1和y2与x之间的函数关系式，求出y1和y2并比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）y1＝0.5×100x+1500＝80x+1500，
∴y1＝80x+1500．
当0≤x≤100时，y8＝100x；
当x＞100时，y2＝100×100+0.3×100（x﹣100）＝70x+3000，
∴y2＝．
（2）当x＝180时，y8＝80×180+1500＝15900，y2＝70×180+3000＝15600，
∵y1＞y6，
∴学校选择B公司的服装花费更少．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式是解题的关键．
22．（7分）某中学在这个冬天为了锻炼同学们的身体素质，加强班级的凝聚力和同学们的集体荣誉感，举行了“跑操比赛”．
（1）学校将服装统一、步伐一致、队形整齐和口号响亮四项按1：3：4：2的比例确定各班的比赛成绩．
初二1班各项成绩如表所示：
请你计算初二1班四项的平均成绩；
（2）赛后学校根据初二各班的平均成绩评出了特等奖，一等奖，二等奖和三等奖
①这22个班级得奖等级的众数是 一等奖 ；
②假设全校每个年级的学生跑操情况大致相同，请用初二年级的获奖情况估计随后比赛的其他年级的88个班级中获得特等奖的班级数量．
【分析】（1）根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案；
（2）①根据众数的定义即可得出答案；
②用88乘初二年级中获得特等奖的班级所占的百分比即可．
【解答】解：（1）＝77（分），
答：初二4班四项的平均成绩为77分；
（2）①由条形统计图可知一等奖的班级数量最多有7个，
所以这22个班级得奖等级的众数是一等奖；
故答案为：一等奖；
②88×＝20（个），
答：估计随后比赛的其他年级的88个班级中获得特等奖的班级数量有20个．
【点评】本题考查了条形统计图，加权平均数，众数以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于A，B两点（10，0），直线l2：y＝2x与l1交于点C（a，4）．
（1）求直线l1的表达式；
（2）求证：l1⊥l2；
（3）直线l3：y＝mx+2，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出所有满足条件的m的值．
【分析】（1）根据待定系数法列方程组求解；
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
（3）当l3与l1或l2平行或过C点时，三条直线不得能围成三角形．
【解答】（1）解：把C（a，4）代入y＝2x得，
∴a＝8，
∴C（2，4），
把A点坐标为（10，7），4）代入y＝kx+b得，，
∴，
∴直线l1的表达式为y＝﹣x+5；
（2）证明：∵A点坐标为（10，3），4），
∴AO2＝100，AC2＝（10﹣2）2+62＝80，OC2＝72+46＝20，
∴OC2+AC2＝AO2，
∴∠ACO＝90°，
∴l1⊥l2；
（3）解：当l3∥l1时：m＝﹣，
当l3∥l2时：m＝3，
当l3过C点时，2m+5＝4，
解得：m＝1，
综上所述，l3，l2，l3不能围成三角形，m的值为﹣．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，两条直线相交或平行的问题，掌握待定系数法是解题的关键．
24．（10分）（1）问题解决：如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+4与x轴交于点A，以AB为腰在第一象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90° （2，0） ，点B的坐标为 （0，4） ．
（2）求（1）中点C的坐标．
（3）类比探究
如图②，平面直角坐标系中，线段MN在x轴上（﹣4，0），点N与M关于y轴对称，点A是线段MN上的一个动点（0，4），以点A为直角顶点，AB为直角边在AB右侧作等腰直角△ABC，在点A的运动过程当中，线段OC是否存在最小值，求出这个最小值；若不存在
【分析】（1）当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，即可求解；
（2）由AAS可得△ABO≌△CAH，可得AO＝2＝CH，OB＝4＝AH，即可求解；
（3）先证点C在过点N且与MN成45°直线上运动，则OC⊥CN时，CO有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝7时，y＝4，
当y＝0时，x＝6，
∴点A（2，0），4），
故答案为：（2，0），6）；
（2）如图①，过点C作CH⊥直线OA于H，
∴∠AHC＝∠AOB＝∠BAC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠BAO+∠CAH，
∴∠ABO＝∠CAH，
又∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴AO＝CH，OB＝AH，
∵点A（2，0），6），
∴AO＝2＝CH，OB＝4＝AH，
∴OH＝8，
∴点C（6，2）；
（3）OC有最小值，如图②，连接CN，
∵点M坐标为（﹣8，0），
∴点N（4，6），
∴MO＝NO＝4，
∵B点坐标为（0，3），
∴BO＝4＝ON＝OM，
同理可证△ABO≌△CAH（AAS），
∴AO＝CH，OB＝AH＝6＝ON，
∴HN＝AO，
∴CH＝HN，
∴∠HNC＝45°，
∴点C在过点N且与MN成45°直线上运动，
∴OC⊥CN时，CO有最小值，
∵∠HNC＝45°，ON＝3，
∴OC的最小值为2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
C
D
B
C
D
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/千克）
5
3
零售价/（元/千克）
7
4
评比项目
服装统一
步伐一致
队形整齐
口号响亮
1班
90分
80分
60分
100分