山东省聊城市振兴西路实验中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省聊城市振兴西路实验中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 计算的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先算cs60°=，再计算即可.
【详解】∵
∴
故答案选A.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，能够准确记忆60°角的余弦值是解题的关键.
2. 如图，在中，若，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的求法，解题关键是理解三角函数的意义，明确是直角三角形中哪两条边的比．
根据三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
故选：C．
3. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
4. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，角正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键．
如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题．
【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出
，，
得到
∴为直角三角形，且
∴
故选：A．
6. 如图，在中，点，分别为，上的点，若，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
又∵
∴，
∴，
∴
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
【详解】解：，
，
A．添加，可用两角法判定，故本选项错误；
B．添加，可用两角法判定，故本选项错误；
C．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误；
D．添加，不能判定，故本选项正确；
故选：D．
8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，AB上，，若，，则AD的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
9. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意确定直线AD的解析式为：，由位似图形的性质得出AD所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线AD的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线AD的解析式为：，
AD所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，x=-1，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
10. 如图，在中，于点于点为边的中点，连接，则下列结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤当时，，其中正确的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】可先证明在和中由斜边中点可判定①正确，由可判定②③正确，证点M，N，B，C共圆，可对④进行判断，证为以为斜边的等腰直角三角形，可判断⑤正确．
【详解】解：①∵于点M，于点N，P为边的中点，
∴点P是和的斜边的中点，
∴，
故①正确；
②③∵于点M，于点N，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故②③正确；
④∵于点M，于点N，P为边的中点，
∴点P是和的斜边的中点，
∴，
∴点M，N，B，C共圆，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故④正确；
⑤当时，为以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
故⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等，圆的知识，解题关键是能够认真审图，弄清题意，逐个对结论进行证明．
二、填空题（共6小题）
11. 在中，，若，则_____．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：如图，，．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的定义．由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．
12. 在锐角三角形中，若，满足，则______．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出，，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
13. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积=_______．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于2，
∴的面积为18．
故答案为：18．
14. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 _____米．
【答案】14
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质求出EM，利用矩形的性质求出EN，可得结论．
【详解】解：∵∠CAB=∠EAM，∠ACB=∠AEM=90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴，
∴，
∴EM=12.5，
∵四边形ADNE是矩形，
∴AD=EN=1.5米，
∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14（米）．
故旗杆MN的高度为14米，
故答案为：14．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
15. 如图，在中，连接，点是上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．先根据平行四边形的性质得，，由得，证明得，进而得到，的面积，即可得的面积，再根据平行四边形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：11．
16. 如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高为边作正,△ABC与公共部分的面积记为；再以正边上的高为边作，与公共部分的面积记为；．．．．．．，以此类推，则=_________（用含n的式子表示）．
【答案】
【解析】
【详解】因为△ABC是边长为2的等边三角形，是高，所以=2cs30°=，,
同理：
，．．．．．．
，．
三、解答题（共6小题）
17. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
（1）根据特殊角的三角函数值即可化简求解；
（2）根据实数的性质化简，再合并求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧按放大，画出的一个位似；
（2）画出将向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的；
（3）与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
【答案】（1）见详解；
（2）见详解； （3）与位似图形，图见详解，点是位似中心
【解析】
【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键；
（1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；
（2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可；
（3）连接，，由交点可得位似中心，从而可得答案
【小问1详解】
解：如图，即为所作图形；
【小问2详解】
解：如图，即所作图形；
【小问3详解】
解：由作图可知，，是相似三角形，
又因为对应点所连直线经过同一个点，
所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为．
19. 如图，在△ABC中，DAC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）CD=2.
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=2．
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.
20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．

（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键．
（1）根据四边形是菱形，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出，即可求．
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∵,
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
21. 如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
【答案】（1）7 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解；
（2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
【小问2详解】
解：过点A作于点F，如图所示．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
22. 如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若与相似，求的值；
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
【详解】解：，，，
，
动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为，
，，，
①当时，
，
，
；
②当时，
，
，
，