安徽省 阜阳市 颍州区阜阳实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试题（解析版）-A4

这是一份安徽省 阜阳市 颍州区阜阳实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 已知点和关于轴对称，则的值为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，已知字母的值求代数式的值，关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标化为相反数，据此求出，代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，解得：，
∴，
故选：B．
3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查分解因式的概念：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），逐一判定即可．
【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，等式的右边不是整式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，等式的右边不是乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；
D. 是因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）个
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据合并同类项运算法则判断①，根据单项式乘单项式的运算法则判断②，根据单项式除以单项式的运算法则判断③，根据幂的乘方运算法则判断④，根据同底数幂的除法运算法则判断⑤．
【详解】解：①与不是同类项，不能合并计算，故①不符合题意；
②，原计算正确，故②符合题意；
③，原计算正确，故③符合题意；
④，故④不符合题意；
⑤，故⑤不符合题意；
正确的是②③，共2个．
故选：A．
5. 若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的倍B. 扩大为原来的倍
C. 缩小为原来的D. 不变
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变．
a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：由题意得：，
∴分式的值缩小为原来的，
故选：C．
6. 已知，，则的值为（ ）
A. 72B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法以及幂的乘方法则，根据幂的乘方，底数不变指数相乘，先把和的值求出，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减求解即可．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：B．
7. 已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ）
A. B. 0C. 17D. 35
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算，理解不含的二次项的含义，掌握整式混合运算法则是解题的关键．根据题意，运用整式的混合运算展开，由不含的二次项可得，该项的系数为零，再代入计算即可．
【详解】解：
，
∵不含的二次项，
∴，
∵，
∴原式，
故选：A ．
8. 如图，三角形中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ）
A. 30°B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的定义是解题的关键．
根据垂直平分线的性质可得，，，则，由三角形内角和定理可得，由此得到，即可求解．
【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B ．
9. 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（ ）
A. 甲所购买的饲料的平均单价低B. 乙所购买的饲料的平均单价低
C. 甲、乙所购买的饲料的平均单价相同D. 不能比较
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价，然后作差求解即可判断．
【详解】解：甲两次购买饲料的平均单价为：（元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克），
甲、乙两种饲料的平均单价的差是：，
由于m、n是正数，因为m≠n时，也是正数，
即，
因此甲的购货方式更合算．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式在实际生活中的应用，分式的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出分式分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价．
10. 如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，作于，于，则，可证，，则，，则，然后求即可．
详解】解：如图，作于，于，
∵是的平分线，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有克，将用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若分式的值为0，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件得出，，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，，
解得：，
故答案为：．
13. 若，则的值是______．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，利用平方差公式 式子进行分解，然后将已知数值代入计算即可．解决本题的关键是将式子进行分解化简．
【详解】解：∵，
∴代入可得：
．
故答案为：21．
14. 如图，，点、分别在射线、，，的积为3，则三角形的边上的高是______；是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，三角形的面积最小值为______．
【答案】 ①. 32 ②.
【解析】
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
，且，
，
点关于对称的点为，点关于对称的点为，
，，，
，
，
的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
的面积的最小值为，
故答案为：32，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法公式，多项式除以单项式；先计算括号内的，运用乘法公式进行计算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，即可求解．
【详解】解：
16. 分解因式：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知：，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解；
（1）根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可；
（2）先根据完全平方公式变形求出的值，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：

，
当时，
原式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______________；
（2）写出你猜想第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）分析已有等式中变动数字与等式序数之间的关系，得第5个等式：，即得答案；
（2）根据（1），可得第n个等式；运用平方差公式化简证明．
小问1详解】
解：第1个等式：；即；
第2个等式：；即；
第3个等式：；即
第4个等式：；即
∴第5个等式：；即
即；
【小问2详解】
解：由（1）知，第n个式子为：
证明：．
【点睛】本题考查规律探索，平方差公式；根据已有的等式，探索已有等式中变动数字与等式序数之间的关系是解题的关键．
20. 请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，
，
当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求的最小值；
（2）比较与的大小．
【答案】（1）有最小值；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性．
（1）利用完全平方公式可得，然后利用偶次方的非负性，即可解答；
（2）作差，利用完全平方公式可得，即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
当时，有最小值；
【小问2详解】
解：
，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在等腰直角中，，是线段上一点，连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．
（1），求的大小（用含的式子表示）；
（2）在（1）的条件下，过点作于点，试证明与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据等腰直角三角形的性质可得：，根据，可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）作，连接，设、交于点，根据等腰三角形的判定与性质可得，，推出，得到，根据，，，可得到，证明，即可解答．
【小问1详解】
解：在等腰直角中，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
，证明如下：
如图，作，连接，设、交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
七、（本题满分12分）
22. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；
再如：．
解决下列问题：
（1）分式是________分式（填“真”或“假”）；
（2）请将假分式化为带分式的形式；
（3）若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】（1）真 （2）
（3）整数x的值为－1，0，2，3
【解析】
【分析】（1）利用真分式的定义判断即可；
（2）根据题干中的方法拆解即可求解；
（3）将原式化为带分式的形式后，利用整除的性质即可求解．
【小问1详解】
分式是真分式．
故答案为：真
【小问2详解】
原式=
=
=
=
【小问3详解】
原式=
=
=
=
=
∵分式的值为整数，
即=－2，－1，1，2
解得：x =－1，0，2，3
∴整数x的值为－1，0，2，3．
【点睛】本题考查了分式的加减法，分式中的新定义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的定义和方法是解决本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，中，于点D，，点E在上，，连接．
（1）求证: ；
（2）延长交于点F，连接，求的度数；
（3）过点C作，，连接交于点N，若，，直接写出的面积 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】(1)运用SAS证明即可．
(2)过点D作交于点P，根据证明，再证明，得证，计算即可．
(3)在上截取，连接，延长交于点F，根据(1)（2）得证，，结合，得证，计算，根据面积公式计算即可．
小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，过点D作交于点P，根据(1)得，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图，在上截取，连接，延长交于点F，根据(1)（2）得证，，；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．