2025盐城五校联考高二上学期11月期中考试数学含解析

2024-2025学年度第一学期联盟校期中考试高二年级数学试题(总分：150分 考试时间：120分钟)注意事项:1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用 2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ）A. y＝x＋3 B. y＝－x＋1C. y＝x＋2 D. y＝－x－2【答案】A【解析】【分析】利用直线的两点式有，整理即可得直线方程.【详解】由两点式得：直线方程，整理得y＝x＋3.故选：A.2. 圆O1：和圆O2：的位置关系是A 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．考点：圆与圆的位置关系．3. 已知，则直线经过 （ ）A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限【答案】B【解析】【分析】将直线化为斜截式，即可求解.【详解】由于，故直线可变形为，故，因此直线经过第一、三、四象限，故选：B4. 开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知列出方程组，求出的值，即可得出答案.【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，.由题意知，解得，则该行星运行轨迹的离心率.故选：B.5. 设，方程所表示的曲线是（ ）A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状．【详解】若，则，曲线,即，，表示焦点在轴上的椭圆．故选：6. 若，，成等差数列，则的值等于（ ）A. 1 B. 0或32 C. 32 D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，解方程得到答案.【详解】，，成等差数列，即.故，解得或（舍去），故.故选：【点睛】本题考查了根据等差数列求值，意在考查学生的计算能力.7. 已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出点的坐标为，由已知，用表示出和PF，进而得到的值.【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图， 依题意，，设，则，由得，所以，所以.故选：D．8. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设过点的直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可.【详解】由抛物线的方程为，焦点坐标为F0,1，设直线的方程为：， 联立方程，整理得，则，故，又，，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线，下列说法正确的是（ ）A. 直线过定点B. 当时，关于轴的对称直线为C. 直线一定经过第四象限D. 点到直线的最大距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据即可求解定点判断A，根据对称即可求解B，当时，直线，即可求解C，根据到定点的距离即可求解D.【详解】对于选项A，由直线，得所以直线过定点，所以选项A正确；对于选项B，当时，直线，所以关于轴的对称直线为，所以选项B正确；对于选项C，当时，直线，不经过第四象限，所以选项C错误；对于选项D，点到定点的距离为到直线的最大距离为，所以选项D正确．故选：ABD．10. 已知圆心为圆与点，则（ ）A. 圆的半径为2 B. 点在圆外C. 点在圆内 D. 点与圆上任一点距离的最小值为【答案】BD【解析】【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断.【详解】因为，即，所以圆心为，半径，故A错误；又，所以点在圆外，故B正确，C错误；因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确.故选：BD11. 已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为，AB是经过抛物线焦点的弦，是线段AB的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. Q是线段的一个三等分点 D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.【详解】如图，由抛物线的定义， 对于A，得，，又，则，A正确；对于B，由，，得，所以.而，所以，所以，可知，所以，B正确；对于D，在中，，可知，所以，D正确；对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等差数列中，，则_________;【答案】6.【解析】【详解】分析： 由等差数列的通项公式得由此能求出.详解：：∵在等差数列中，， ．解得 ．故答案为6．点睛：本题考查数列的第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．13. 若直线l经过点，且与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．【答案】【解析】【分析】由题意可知，直线l经过点和点，从而可求出直线l的斜率，再利用点斜式可求出直线l的方程【详解】直线在y轴上的截距为3，所以直线l经过点，故直线l的斜率，故直线l的方程为．故答案为：【点睛】此题考查直线方程的求法，属于基础题14. 当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为______.【答案】【解析】【分析】由已知可得直线过定点，当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m的值.【详解】由已知可将直线的方程化为，解可得，所以直线过定点.又由圆的方程可得圆心，半径，则，所以点在圆内.当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短.因为，所以直线的斜率为，即，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.【答案】（1）3x＋4y＋15＝0.（2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.【解析】【详解】试题分析：根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程.试题解析：(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋ ，所以直线3x＋8y－1＝0斜率为－，则所求直线的斜率k＝2×(－)＝－ 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋ ＋|a|＝12，解得a＝±3，所以所求直线的方程为或，即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案.16. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.求的通项公式；从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.【答案】；是数列中的项，理由见解析.【解析】【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式；写出，将代入验证即可.【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为，所以，又因为，即.所以，，因为公差为正数,所以.则，则.的通项公式.结合可知，，，，令，即，符合题意，即.所以是数列中的项.【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.17. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线.（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l所过的定点.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求解直线的交点为圆心坐标，求出半径，求出圆的方程;(2)根据直线方程求出定点坐标.【小问1详解】），圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切，所以圆C的半径为，所以圆C的标准方程为；【小问2详解】由，得，由，∴直线l过定点.18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将点2,0和点代入椭圆方程，解之即可得解；（2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解.【小问1详解】因为椭圆椭圆经过点2,0和点，，所以，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由（1）得，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，解得或，则，所以.19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．（1）求双曲线的方程．（2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由．（3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析； （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；（2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．【小问1详解】由双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，所以双曲线的方程为．【小问2详解】双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，当直线的斜率不为0时，设，由，消去得，显然，，设Ax1,y1,Bx2,y2，则，得，于是，，即，因此与不垂直，所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．【小问3详解】由直线，得，则，又，于是，而，即有，且，所以，即为定值．【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．