湖北省武汉市武汉经开外国语学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

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1-5 DCBBA 6-10 AACDB
二、填空题
11.（-3，4）
12.
13. 7200（1+x）2＝8450，
14. 126°或144°
15. 2
16. = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③
三、解答题：
17.解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，
∴1﹣b+2＝0，解得：b＝3，
把b＝3代入方程得：x2﹣3x+2＝0，
设另一根为m，可得1+m＝3，解得：m＝2
18. （1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE=12（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
19.解：（1）球，事件“摸到白球”的概率是24=12，
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，
∴甲同学至少得4分的概率为812=23．
20. （1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠B+∠BCE＝90°，
∵DE=CD，
∴∠CAD＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠B，
∴AB＝AC；
（2）连AD，CE，
由AB=AC，△ABC为等腰三角形，AD⊥BC
∴BD=CD=6，故AD=8，
面积法：BC×AD=CE×AB，得CE=
在Rt△AEC中，AE=
21.
22. 解：（1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+25，
把（0，5）代入，得2500a+25＝5，解得a=-1125．
∴y=-1125（x﹣50）2+25=-1125x2+45x+5；
（2）石块不能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝75代入y=-1125（x﹣50）2+25；得y＝20，
∵20＜12+9，
∴石块不能飞越防御墙AB；
（3）设直线OA的解析式为y＝kx，把（75，12）代入得，k=425，
∴直线OA的解析式为y=425x，
过抛物线上的点M作MN⊥x轴交OA于N，
设M（m，-1125m2+45m+5），则N（m，425m），
∴MN=-1125m2+1625m+5，对称轴为x=-1625-2125=40，
∵a＜0，在对称轴的左侧MN随x的增大而增大，
∴0≤x≤37.5时，a＝37.5时，MN最大为714，
37.5＜x≤75时，a＝40时，MN最大为895．
答：0≤x≤37.5时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为714；37.5＜x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为895．
23.（1）∵正方形ABCD，正方形AEFG
∴AB=AD,AE=AG，∠BAD=∠GAE=90°
∴∠BAD+∠DAG=∠GAE+∠DAG,即∠BAG=∠DAE
∴△BAG≌△DAE
（2）中线倍长
BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CH∥EF，
∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，
∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE
（3）点Q在以点O为圆心，32为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积＝π×（32）2﹣π×32＝9π．
24. 解：（1）根据题意知，-b2a=29a+3b+5=8．
解得a=-1b=4．
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x+1）（x﹣5）知，A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）
①如图1，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，如图1，设P（m，n），则OC＝m，PC＝n，
∵点P在抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x+5上，
∴n＝﹣m2+4m+5，
∴S四边形EFPQ＝S梯形PFOC﹣S△EOQ﹣S△QCP=12（2+n）×m-12×1×1-12（m﹣1）×n＝m+12n-12，
∴S四边形EFPQ=-12m2+3m+2，
当m=-32×(-12)=3时，S最大．
当m＝3时，n＝﹣9+12+5＝8，
∴P（3，8）
因此当四边形EFPQ的面积最大时，点P的坐标为（3，8）．
②如图2，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，如图2，作Q关于O的对称点Q1，连接EQ1，则Q1（﹣1，0），
由（1）得B（5，0）A（﹣1，0）Q（1，0），
∴QB＝4，
∵PQ＝PB，
∴QD＝DB=12QB＝2，
∴OD＝3，
当x＝3时，y＝﹣9+13+5＝8，此时点P（3，8），
PQ、EF的长固定，要使四边形的周长最小，即EQ+PF最小即可，
当EQ1∥PF时，EQ+PF最小，即四边形的周长最小，
设直线PF的关系式为y＝k1x+b1，直线EQ1的关系式为y＝k2x+b2，
由题意得：3k1+b1=8b=m+1，-k2+b2=0b2=m，
∴k1=7-m3，k2＝m，
当k1＝k2时，EQ1∥PF，即：7-m3=m，
解得：m=74．
因此当m=74时，四边形EFPQ的周长最小．