江苏省泰州市海陵区民兴中英文学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省泰州市海陵区民兴中英文学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：本卷共6页共26道题，所有答案一律填写在答题卡上，写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. ax2+bx+c=0B. x2 -2=（x+3）2C. x2 +3y −5＝0D. x2-1=0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
B、方程整理后不含有二次项，故本选项错误；
C、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选D.
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2. 在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系.
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴点C到AB的距离=，
则该圆与AB的位置关系是相离.
故选C.
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．
4. 某鞋店对某款女鞋一周的销售情况进行统计，结果如下：
根据上表信息，该店主决定下周多进一些37码的鞋子，影响店主进货决策的统计量是（ ）
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据各种统计量的含义与性质进行选择即可
【详解】A、众数是最多的数，它代表了销量最好，故符合题意；
B、中位数是指排好序后最中间的数，对进货没有指导意义，故不符题意；
C、平均数是所有尺码的平均销售量，反映整体水平，也不能做进货指导，故不符题意；
D、方差反映的是波动水平，不能做进货指导，故不符题意．
故选：A
【点睛】本题题考查众数、中位数、平均数、方差的理解与应用，理解这些概念是关键．
5. 如图，切于，点从出发，以每秒的速度沿方向运动，运动2秒时，运动4秒时长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由切线的性质得到，利用勾股定理得到的值，再利用勾股定理即可得到运动4秒时长．
【详解】解：切于，
，
运动2秒时，，
在中，，
运动4秒时，，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆切线的性质，勾股定理，根据切线的性质得到是解题的关键．
6. 如图，正五边形ABCDE内接于，点F为上一点，则∠EFC度数为（ ）
A. 36°B. 45°C. 60°D. 72°
【答案】D
【解析】
【分析】连接EC，根据圆内接四边形性质定理可知，再利用五边形ABCDE正五边形，求解即可．
【详解】解：如图所示，连接EC，
∵CDEF是圆内接四边形，
∴，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形性质定理，正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
7. 七个同学定点投篮（每人投10个），投进的个数分别为6，10，5，2，4，8，4，这组数据的极差是______．
【答案】8
【解析】
【分析】用最大值减去最小值，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这组数据的极差是．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查求极差，掌握极差是用最大的数减去最小的数是解题的关键．
8. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据方程的解的定义和根与系数的关系，得到，代入计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，利用整体代入法，进行求解，是解题的关键．
9. 用半径为2，圆心角为的该扇形围成圆锥，则该圆锥底面半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程进行计算即可．
【详解】解：扇形的圆心角是，半径为2，
∴扇形的弧长是：，
∴圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是，
设圆锥的底面半径是r，则，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了弧长计算公式及圆锥的相关知识.理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题的关键．
10. 一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据药品的原价及经过2次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：80（1-x）2=51.2，
故答案：80（1-x）2=51.2．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11. 小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分．
【答案】
【解析】
【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【详解】解：小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．
12. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数为______．

【答案】##55度
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，即可解答．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟知上述性质是解题的关键．
13. 如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为______．

【答案】##40度
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，圆内接四边形的性质．关键是掌握圆内接四边形的性质“对角互补”．
14. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
15. 如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，证明△OBC的面积=△ABC的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BO，CO，OA．
由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴，
∴△OBC的面积=△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积= ．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．
16. 如图，在RtAOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由切线的性质可得OQ⊥PQ，根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可知当当PO⊥AB时，线段PQ最短，进而根据勾股定理求得，，即可求解．
【详解】连接OP、OQ，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ．
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=，
∴AB=OA=6．
∴OP=AB=3．
∴PQ=．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，得出当PO⊥AB时，线段PQ最短是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 选用适当的方法解下列方程
（1）2x2﹣5x﹣8＝0
（2）（x﹣2）（2x﹣3）＝2（x﹣2）
【答案】（1）x1＝，x2＝ ；（2）x1＝2，x2＝．
【解析】
【分析】（1）根据公式法解答即可；
（2）先移项，再利用分解因式法求解．
【详解】解：（1）在此方程中，a=2，b=﹣5，c=﹣8，
所以，
∴，
∴x1＝，x2＝；
（2）移项，得（x﹣2）（2x﹣3）－2（x﹣2）=0，
原方程可变形为：，
即，
∴x－2=0或2x－5=0，
解得：x1＝2，x2＝．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
18. 先化简再求值：，其中
【答案】，当原式
【解析】
【分析】先把所给分式化简，再求出方程的解，取使分式有意义的解代入化简的结果计算即可．
【详解】解：
∵
∴
∴或
，
∵
∴
∴原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
19. 甲、乙两支篮球队进行了5场比赛，比赛成绩（整数）绘制成了如下统计表
（1）填写下表：
（2）如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，从平均分、方差以及获胜场数这三个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更有可能取得好成绩？
【答案】（1），，
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数的公式、方差的公式以及中位数的定义逐一进行作答即可；
（2）根据甲乙两队平均数相同、甲队方差小，乙队方差大、甲队胜3场，乙队胜2场等内容，即可作答．
【小问1详解】
解：甲的平均数是：；
，
故甲队的方差为；
把乙队的数从小到大排列，为，，，，，中位数是；
如下图所示：
【小问2详解】
解：从平均分来看，甲乙两队平均数相同；从方差来看甲队方差小，乙队方差大，说明甲队成绩比较稳定；从获胜场数来看，甲队胜3场，乙队胜2场，说明甲队成绩较好，因此选派甲球队参赛更能取得好成绩．
【点睛】本题考查了平均数的公式、方差的公式以及中位数的定义，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20. 如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为，拱顶高出水面（），现有一艘宽为且船舱顶部为长方形并高出水面的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．

【答案】货船能顺利通过这座拱桥，理由见解析
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理求出弧形所在圆的半径；根据船宽，在中，利用勾股定理可以求出此拱桥可以通过的船的高度，与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．
【详解】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：
如图，连接、．

，，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
解得：．
，船舱顶部为长方形并高出水面，
，
，
在中，，
，
，
货船能顺利通过这座拱桥．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解本题的关键是求出此拱桥可以通过的船的高度，再与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为，，是否存在实数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），且
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得到，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案．
【小问1详解】
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
即
即：，
∴，且；
【小问2详解】
存在．
根据题意，，
∴，
∴，
经检验，是方程的根，且符合题意，
即；
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值．
22. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若OE＝3，∠CBG＝30°，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【解析】
【分析】（1）由AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，根据垂径定理可得，BE=CE，根据等弧所对圆周角性质可得∠BAD=∠CAD；
（2）连接OC，由含30度角的直角三角形的性质和圆周角定理可得∠COG=60°，OB=2OE=6，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：（1）∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，
∴，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如图所示，连接OC，
∵∠CBG=30°，∠BEO=90°，
∴∠COG=60°，OB=2OE=6，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23. 新学期开始，某文具店一共花费600元购进50本款笔记本和60本款笔记本进行试销．已知款笔记本单价比款笔记本单价贵20%．
（1）求，两种文具的单价分别为多少元？
（2）试销结束后，文具店决定第二次购进、两款笔记本．因“国庆”促销活动，文具店老板发现，款笔记本的单价下降百分率为，款笔记本的单价上涨百分率为，文具店老板决定款笔记本的购进数量比试销时的购进数量增加的百分率为，款笔记本的购进数量与试销时的购进数量一致，结果购进这两款笔记本所花费的总费用仍为600元．求的值．
【答案】（1）款笔记本单价为5元，款笔记本单价为6元
（2）
【解析】
【分析】（1）设款笔记本单价为元，则款笔记本单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x的值，即可解答；
（2）由题意可列出关于的一元二次方程，解出m的值，再舍去不合题意的值即可．
【小问1详解】
解：设款笔记本单价为元，则款笔记本单价为元，
由题意：，
解得：，
答：款笔记本单价为5元，款笔记本单价为6元；
【小问2详解】
由题意：，
整理得：，
解得：，（舍），
∴的值为．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
24. 如图，已知是直径，是上一点，连接，，交于，过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据平行线的性质得到，由圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，得出，根据切线的性质得到，求得，进而可求证结论．
（2）证明是等边三角形，得出，利用切线的性质及勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图：

，
，
是的直径，
，
，由垂径定理得垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
为的切线，是半径，
，
，
即，是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：在中，，
，
又，
是等边三角形，
，
在中，又为的切线，
，，
，
，
，
在中，
.
【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定及性质、垂径定理、等边三角形、勾股定理，掌握切线的判定及勾股定理是解题的关键．
25. 如图，是的内接三角形，是它的一个外角，交于点P，仅用直尺按下列要求分别画图：
（1）在图1中，画并标出的中线；
（2）在图2中，画并标出的角平分线；
（3）在图3中，画并标出的外角的角平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）设与交于点E，根据垂径定理得到点E为的中点，连接，即可；
（2）连接交于F，根据垂径定理得到，则，所以为的角平分线；
（3）延长交于G，连接，根据垂径定理得垂直平分，从而得到，进儿得到，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理得，从而得到，即平分．
【小问1详解】
解：如图1，即为所求；
【小问2详解】
解：如图2，连接AP交BC于F，则为所求；
【小问3详解】
解：如图3，延长交于G，则射线所求．
理由：连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
根据圆内接四边形的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，即平分．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键．
26. 如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆．

（1）当时，的半径是______ ，与直线的位置关系是______；
（2）在点P从点A向点B运动过程中，当与矩形的边相切时，求t的值．
（3）连接，交于点N，如图2，当时，t的值是______．

【答案】（1）；相离
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，的长，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；
（2）分两种情况考虑：与相切；与相切；根据切线的性质作辅助线，则，，由列方程即可求解；
（3）如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明，，最后根据勾股定理列方程即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过M作于N，交于K，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴的直径是，，
当时，，，
∵，，
∴，，
∴
∴的半径为，
∵，M是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴与直线的位置关系是相离；
【小问2详解】
解：如图，当与相切时，设切点为F，连接并延长交于E，则，，

则，，
∴，
∴，
∵在中，是的中点，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当与相切时，设切点为E，连接并延长交于F，则，，

则，，
∴，
∴，
∵在中，是的中点，，
∴，
即，
易知，
∴，
解得：，
综上所述：当与矩形相切时，或；
【小问3详解】
解：如图，过D作，交的延长线于点G，连接，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：（舍去），．
所以t的值是．
【点睛】本题四边形和圆的综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，综合性强，难度大，正确添加恰当辅助线是解题的关键．
尺码
35
36
37
38
39
40
销售量（双）
6
18
33
12
2
1
第1场
第2场
第3场
第4场
第5场
甲
乙
平均数
中位数
方差
甲
______
______
乙
______
平均数
中位数
方差
甲
乙