2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第三次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省济宁市嘉祥一中高三（上）第三次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U=R，A={x|x=2n,n∈N}，B={x|x(x−2)>0}，则A∩(∁UB)=( )
A. {0}B. {2}C. {0,2}D. {0,1,2}
2.已知数列{an}，则“an−2+an+2=2an(n≥3,n∈N∗)”是“数列{an}是等差数列”的( )
A. 充分不必烈条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a,b,c满足|a|=|b|,a与b的夹角为π3,a+b+c=0，则a与c的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，若an+an+1=2n+5，a1=1，则S8=( )
A. 48B. 50C. 52D. 54
5.已知sin(π3−α)=−2sin(α+π6)，则sin(2α+π3)=( )
A. −34B. 34C. −45D. 45
6.已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上、下底面边长分别为 2,2 2，高为3，则该球的表面积为( )
A. 40πB. 20πC. 16πD. 20 5π3
7.已知函数f(x)=csx+12cs2x+13cs3x，则( )
A. π是f(x)的一个周期B. x=π是f(x)图象的一条对称轴
C. (π2,0)是f(x)图象的一个对称中心D. f(x)在区间(0,π)内单调递减
8.已知函数f(x)=ln(|xx−1|)+x−1，则i=12023f(i2024)=( )
A. −20232B. −2023C. −1012D. −2024
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有( )
A. |z1z2|=|z1|⋅|z2|B. 若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|
C. 若|z1|=|z2|，则z12=z22D. 若z12+z22=0，则|z1|=|z2|
10.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)=f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧点”.下列选项中有“巧点”的函数是( )
A. f(x)=x2B. f(x)=e−xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx
11.如图，已知二面角α−l−β的棱l上有A，B两点，C∈a，AC⊥l，D∈βBD⊥l，若AC=AB=BD=2,CD=2 2，则下列结论正确的有( )
A. 直线AB与CD所成角的大小为45°
B. 二面角α−l−β的大小为60°
C. 三棱锥A−BCD的体积为2 3
D. 直线CD与平面β所成角的正弦值为 64
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则a0+a1+2a2+3a3+…+10a10= ______．
13.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x−π3)在区间(0,m)上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围为______．
14.函数f(x)=(1x+3)(1−2x)(2x2+ax+b)，对任意的x≠0时，都有f(x)−f(1x)=0，则a+2b= ，函数f(x)的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
数列{an}中，a1=2，记Tn=a1a2a3⋯an，{Tn}是公差为1的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn=nan2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
某学校对高三(1)班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为s12=10，化学成绩的方差为s22=8，i=150xi2=500500，其中xi，yi(i∈N，且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x的线性回归方程为y=0.4x+t．
(1)求y与x的样本相关系数r；
(2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生数学成绩η服从正态分布N(μ,σ2)，用样本平均数x−
作为μ的估计值，用样本方差s12作为σ2的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间(96.84,106.32)的人数.附：①回归方程y​=b​x+a​中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−；②样本相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2；③ 5≈2.24, 10≈3.16；④若η～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤η≤μ+σ)≈0.68，P(μ−2σ≤η≤μ+2σ)≈0.95．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD= 3．
(1)求证：平面MQB⊥平面PAD；
(2)若二面角M−BQ−C的大小为60°，求QM的长．
18.(本小题17分)
设f(x)=ax2+csx−1，a∈R．
(1)当a=1π时，求函数f(x)的最小值；
(2)当a≥12时.证明：f(x)≥0；
(3)证明：cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43(n∈N∗,n>1)．
19.(本小题17分)
若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，使得对任意x∈R，都有f(x−T)+f(x+T)=Tf(x)，则称f(x)是类周期为T的“类周期函数”．
(1)若函数f(x)是类周期为1的“类周期函数”，证明：f(x)是周期函数；
(2)已知f(x)=2x−sinωx(ω>0)是“类周期函数”，求ω的值及f(x)的类周期；
(3)若奇函数f(x)是类周期为T(T>0)的“类周期函数”，且f(3T)f(T)=1，求T的值，并给出符合条件的一个f(x)．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.C
6.B
7.B
8.A
9.ABD
10.AC
11.ABD
12.21
13.(7π12,13π12]
14.−1 −36
15.解：(1)当n=1时，T1=a1=2，
所以Tn=T1+(n−1)×1=n+1，
所以a1a2a3⋯an=n+1，
当n≥2时，a1a2a3⋯an−1=n，
所以an=n+1n(n≥2)，
又a1=2符合an=n+1n，
所以an=n+1n，n∈N∗；
(2)由(1)得bn=n+12n，
所以Sn=22+322+423+⋯+n2n−1+n+12n①，
所以12Sn=222+323+424+⋯+n2n+n+12n+1②，
①−②得12Sn=22+(122+123+124+⋯+12n)−n+12n+1
=1+14[1−(12)n−1]1−12−n+12n+1
=32−(12)n−n+12n+1，
所以Sn=3−n+32n．
16.解：(1)因为y关于x的线性回归方程为y=0.4x+t，
所以b =i=150(xi−x−)(yi−y−)i=150(xi−x−)2=0.4，
即i=150(xi−x−)(yi−y−)=0.4i=150(xi−x−)2，
又由s12=10，s22=8可得i=150(xi−x−)2=500,i=150(yi−y−)2=400，
所以r=i=150(xi−x−)(yi−y−) i=150(xi−x−)2i=150(yi−y−)2=0.4i=150(xi−x−)2 i=150(xi−x−)2i=150(yi−y−)2= 55≈2.245=0.448；
(2)由s12=150i=150xi2−x−2,10=150×500500−x−2，
解得x−=100，
所以η～N(100,10)，
所以P(96.841−sinx≥0，此时f(x)在(π2,+∞)内单调递增，
当0≤x≤π2时，令g(x)=f′(x)，则g′(x)=2π−csx，显然g′(x)在[0,π2]内单调递增，
因为01−122=34>23=2−43，不等式成立；
当n≥3时，cs1n>1−1n2=1−44n2>1−44n2−1=1−2(12n−1−12n+1)，
即cs1n>1−2(12n−1−12n+1)，
则cs12>1−2(13−15),cs13>1−2(15−17),⋯,cs1n>1−2(12n−1−12n+1)，
相加，可得cs12+cs13+⋯+cs1n>(n−1)−2(13−12n+1)=n−43−2n−53(2n+1)，
因为n≥3，所以2n−53(2n+1)>0，所以cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43，
综上，cs12+cs13+⋯+cs1n>n−43(n∈N∗,n>1)．
19.解：(1)证明：因为f(x)是类周期为1的“类周期函数”，
所以f(x−1)+f(x+1)=f(x)，①
用x+1代换x得f(x)+f(x+2)=f(x+1)，②
①+②得f(x+2)=−f(x−1)，所以f(x+3)=−f(x)，
所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数．
(2)因为f(x)是“类周期函数”，
所以存在非零常数T，使得对任意x∈R，都有f(x−T)+f(x+T)=Tf(x)，
即2(x−T)−sin(ωx−ωT)+2(x+T)−sin(ωx+ωT)=2Tx−Tsinωx，
整理得4x−2sinωxcsωT=2Tx−Tsinωx，
所以4=2T,2csωT=T，所以T=2，cs2ω=1，
所以ω=kπ(k∈N∗)，f(x)的类周期为2．
(3)因为奇函数f(x)是类周期为T的“类周期函数”，
所以f(0)=0，且f(x−T)+f(x+T)=Tf(x)，
取x=T，得f(0)+f(2T)=Tf(T)，所以f(2T)=Tf(T)，
取x=2T，得f(T)+f(3T)=Tf(2T)=T2f(T)，
所以f(3T)=(T2−1)f(T)，
因为f(3T)f(T)=1,f(T)≠0，所以T2−1=1,T= 2(负值舍去)，
所以f(x− 2)+f(x+ 2)= 2f(x)，
设f(x)=sinax，则sin(ax− 2a)+sin(ax+ 2a)= 2sinax，
整理得2sinaxcs 2a= 2sinax，
所以cs 2a= 22，取a= 2π8,f(x)=sin 2π8x．