浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高一(上)期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高一(上)期中联考数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以.
故选：A.
2. 命题“”的否定形式是（ ）（其中为常数）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题“”的否定形式是“”.
故选：D.
3. 设, 则 “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由一定可得出；
但反过来，由不一定得出，如.
故选：A.
4. 图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A. 、3、B. 、3、C. 、、3 D. 、、3
【答案】D
【解析】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点，
则，又，
则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，
点C在幂函数图像上，则曲线对应的指数分别为.
故选：D.
5. 已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. a＜b＜cB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. c＜b＜a
【答案】C
【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C.
6. 已知，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，反解得，回代得，
即，故.
故选：B.
7. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
有一职工八月份收入12000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）元.
A. 1200B. 1040C. 490D. 400
【答案】C
【解析】元，其中有3000元应纳税3%，
元应纳税10%，所以一共纳税元.
故选：C.
8. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A. 恒大于0B. 恒小于0
C. 等于0D. 无法判断
【答案】B
【解析】由题可知：函数是幂函数，
则或，
又对任意的且，满足，
所以函数为(0,+∞)的增函数，故，所以，
又，所以为单调递增的奇函数，
由，则，所以，则.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.
9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】BC
【解析】A中定义域不同；B、C中定义域，对应关系都相同；D项对应关系不同.
故选：BC.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B：，
∴a2>ab>b2，所以本命题是真命题；
选项C：，
，所以本命题是真命题；
选项D：若时，显然不成立，所以本命题是假命题.
故选：BC．
11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A. B. 奇函数
C. 在R上单调递减D. 当时，
【答案】ABD
【解析】A选项，中，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，
解得，中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在R上单调递增，C错误；
D选项，由A知，，
又，故，
又在R上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.
12. 若，则__________．
【答案】9
【解析】因为，所以.
13. 已知曲线且过定点，若且，则的最小值为______.
【答案】16
【解析】因为且过定点，则k=1，，
若且，
则，
当且仅当 且，即，时取等号．
所以的最小值为16.
14. 研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么__________．
【答案】
【解析】根据题意函数的图象对称中心为，
设，则为奇函数，
则，
所以，
得，
即，
即，则有，
所以.
四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：；
（2）已知，求值：.
解：（1）原式.
（2）由，而，
则，故.
16. 已知集合， .
（1）若，求；
（2）设；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：（1）当时，
因为，所以.
（2）；，若是的充分不必要条件，则是的真子集，
由可得：，
方程的两根为和，
当时，，此时不符合题意；
当时，，此时不符合题意；
当时，，若是的真子集，
则，解得：，
所以实数的取值范围为.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论.
解：（1）因为是定义在的奇函数，所以，
当时，，
所以当时，则，则，则，
所以.
（2）在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，
则，即，
即函数在上单调递减.
18. 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）
解：（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，
政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，
所以，公司生产防护服的利润
.
（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；
即在上恒成立；
因为，
令，因为，所以，
记，
任取，
则
，
因为，，所以，即，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
因此，即的最大值为；
所以只需，即.
19. 已知函数，．
（1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对任意，存在，使得，求m的取值范围；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
解：（1）由题意得恒成立，
得恒成立，即，
解得．
（2）当，当，
由题意得，
∴得，
此时对称轴为，
故，即，
得或，
综上可得．
（3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故．全月应纳税所得额
税率
不超过3000元的部分
3%
超过3000元至12000元的部分
10%
超过12000元至25000元的部分
20%