北师大版数学九上期末重难点培优训练第四章 图形的相似培优检测卷（2份，原卷版+解析版）

这是一份北师大版数学九上期末重难点培优训练第四章 图形的相似培优检测卷（2份，原卷版+解析版），文件包含北师大版数学九上期末重难点培优训练第四章图形的相似培优检测卷原卷版doc、北师大版数学九上期末重难点培优训练第四章图形的相似培优检测卷解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
考试范围：第四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·陕西·西安市西光中学九年级阶段练习）已知则下列变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：
∴
A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，则，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果ab=cd，那么，反之亦然．
2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（ ）
A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3
【答案】A
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．
【详解】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∵，与的高相等，
∴，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题利用了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
3．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出PO=OA=2，然后写出P点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为-1，
∴AB=3，OA=BC=2，DE=1，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，
∴，
∴PO=OA=2，
∴P点坐标为（-2，0）．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）
A．2米B．2.5米C．3米D．4米
【答案】B
【分析】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
【详解】由题意知，
可得，
∴，
∵（米），米，
∴，
∴米，
故选B.
【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
5．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（ ）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．
A．a＝bB．abC．abD．ab
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质对应边成比例进行求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，
∴
即
化简得：，
故选：D．
【点睛】题目主要考查相似图形的性质，理解相似图形的性质是解题关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）
【答案】
【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明与相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．
【详解】解：添加，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．
8．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，四边形∽四边形，，，，则______．
【答案】
【分析】利用相似多边形的对应角相等以及四边形内角和定理求得答案即可．
【详解】解：四边形∽四边形，，，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等．也考查了四边形内角和定理．
9．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，已知两条直线DF、AC被三条平行直线、、所截，，，，则___________．
【答案】##
【分析】根据平行线分线段成比例，列比例式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
10．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．
【答案】
【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴，
∴，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=AF=，
∴DF=AD-AF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
11．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，，，与相交于点E，过点E作交于F．且，，则的长为________．
【答案】
【分析】由，，，可得 则再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴
∴
∴
∴
∵，，

解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
12．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中占C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为_______．
【答案】或
【分析】根据位似变换的概念计算即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，点D与点B对应，点B的横坐标为3，
∴点D的横坐标为3×或3×，即点D的横坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，可证得．
【详解】证明：，，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉三角形相似判定定理是解题关键．本题用到的判定是两边对应成比例且夹角相等．
14．（2022·全国·九年级）已知a，b，c是△ABC的三边长，且
（1）求的值；
（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．
【答案】（1）；（2）20，16，24
【分析】（1）利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案；
（2）根据△ABC的周长为60得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】（1）设，则，，，
；
（2）∵△ABC的周长为60，
，
，
解得：，
，，，
∴三角形的各边的长分别为20，16，24．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
15．（2020·河北·原竞秀学校九年级期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出EF，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：在中， ，，
由勾股定理得：，
∴，
根据题意得：∠BCD=∠DEF=90°，∠D=∠D，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．
【答案】见解析
【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线段成比例定理证明结论．
【详解】证明：作EH∥AC交BC于H，
∵点E为AD的中点，
∴DH＝HC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，又DH＝HC，
∴BH＝3HC，
∵EH∥AC，
∴，
∴EF＝BF．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键．
17．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．
(1)求和；
(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？
【答案】(1)，
(2)线段，AB，，BC是成比例线段．
【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；
（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
(1)
∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．
∴＝＝ ，＝＝
(2)
由（1）知＝＝ ，＝＝；
∴＝，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·全国·九年级单元测试）在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)填空：_________，__________；
(2)判断与是否相似，并证明你的结论．
【答案】(1)135，；
(2)△ABC∽△DEF，证明见解析．
【分析】（1）由网格特点可得∠DEF的度数，由勾股定理可得DE的长；
（2）根据勾股定理计算出BC的长，根据网格特点求出∠ABC的大小，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到结论．
（1）
解：由网格特点可得：∠DEF＝90°＋45°＝135°，
由勾股定理得：DE＝，
故答案为：135，；
（2）
解：△ABC∽△DEF；
证明：在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝90°＋45°＝135°，
在△DEF中，DE＝，EF＝2，∠DEF＝135°，
∴，∠DEF＝∠ABC＝135°，
∴△ABC∽△DEF．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，关键是熟练掌握网格的特点及相似三角形的判定定理，并运用勾股定理计算出三角形的边长．
19．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．
(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；
(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
【答案】(1)灯杆AB的高度为4米
(2)灯杆AB的高度为米
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的推论可知，代入求解即可；
（2）同（1）可得，，先求出BC，进而求出AB．
（1）
解：由题意可知，，，
∴，
由题意，，
∴，即，
解得，
∴灯杆AB的高度为4米；
（2）
解：由题意可知，，，，
∵中，，
∴，即，
同理，中，，
∴，即，
∴
解得，
∴，
∴，
∴灯杆AB的高度为米．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
20．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
(3)填空：点A2的坐标 ；△ABC与△A2B2C2的周长比是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．
（1）
如图，△A1B1C1即为所作；
（2）
如图，△A2B2C2即为所作；
（3）
如图，点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2．
故答案为：(3，6)；1：2．
【点睛】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若BE＝2，AD＝6，且DF＝2EF，求DF的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，，从而可得∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，然后利用等角的补角相等可得∠C＝∠AFD，从而利用两角相等的两个三角形相似即可解答；
（2）利用平行四边形的性质可得AD＝BC＝6，从而可得CE＝4，然后根据已知可设EF＝x，则DF＝2x，DE＝3x，再利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠B+∠AFD=180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC；
（2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵DF＝2EF，
∴设EF＝x，则DF＝2EF＝2x，
∴DE＝EF+DF＝3x，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴x＝±2，
经检验：x＝±2是原方程的根，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴DF＝2x＝4，
∴DF的长为4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点 P 从点 B 出发，沿线段 BA 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿折线 AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动．设运动的时间为 t 秒．
(1)AB= ；
(2)用含 t 的代数式表示线段 CQ 的长；
(3)当 Q 在 AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求 t 的值；
(4)设点 O 是 PA 的中点，当 OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出 t 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式；
（3）根据题意分∠AQP=90°时，∠APQ=90°时，两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解．
（4）根据题意分时，时，时，三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解．
（1）
∠C＝90°，AC＝16，BC＝12
故答案为：20
（2）
（3）
如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，
∴．
∵AB=20．
∵BP=2t，AQ=2t，
∴PA=20-2t，
∴，
∴t=，
如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
t=．
综上所述，t=或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（4）
如图3，当时，
，
，
点 O 是 PA 的中点，
，
，
，
，
，
解得，
如图4，当时，
，
，
，
，
，
，
如图5，当时，
，
，
，
，
，
，
解得，
综上所述，的值为或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，
则有，，
∴．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．
(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．
(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入进而可证成立；
（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，由题意可知，，代入求值即可；
（3）如图5，分别过作 ，由题意可知，，，有，，对计算求值即可．
(1)
证明：如图，过点作，交的延长线于点
∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴
∵
∴．
(2)
解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G
∴由题意可知
∵D是BC的中点，为等边三角形
∴，
在中
∵
∴
解得
故答案为：．
(3)
解：如图5，分别过作
∵图5同图1，故可知
∵F为AB中点，CD=BC，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴四边形BCEF的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于证明三角形相似．