2023年秋周末托管初二数学试题初二周末托管（八--十一）

这是一份2023年秋周末托管初二数学试题初二周末托管（八--十一），共9页。
【知识要点】
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
【典型例题】
例1、如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ）
B
A
C
D
E
F
A．5对B．4对C．3对D．2对
变式训练：
1．下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
2．已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
(1)添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；
A
B
C
D
O
F
E
(2)分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.
例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，求证：△BEC≌△CDA
变式训练：
1．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
A
E
第1题图
A
B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
A
F
E
C
B
D
3．已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC. SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT



例3、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.
变式训练：如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H.
求证：△BCE≌△ACD
(2)求证：CF=CH
(3)判断△CFH的形状并说明理由．

例4、Rt中，，，为中点，若点、分别在线段、上移 动，且在移动过程中保持，试判断 的形状，并证明你的结论．
变式训练：如图，正三角形ABC的边长为2，D为AC边上的一点，延长AB至点E，使BE=CD，连结DE，交BC于
点P(1)求证：DP=PE；(2)若D为AC的中点，求BP的长.
【小题精练】
如图, △ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
D
B
A
C
E
F
(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm, 求BD的长.
内江天立初中八年级上学期周末托管数学学科
知识拓展练（九）
例1.如图所示，°，是中点，平分，判断是否平分，说明理由．
变式：如图将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.
(1)找出图中的全等三角形，并加以证明；
B
D
E
C
l
A
(2)若DE＝a，求梯形DABE的面积.
例2 已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：(1) AP＝AQ；(2)AP⊥AQ
2
1
A
B
C
P
Q
E
F
D
变式训练：
1．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.求证：(1)△BAD≌△CAE；(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系并证明.
如图，C、B、E三点在一直线上，AC⊥CB，DE⊥BE，∠ABD=90°，AB=BD，试证明AC+DE=CE．
A
C
B
D
E
【小题精练】
1．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°
E
2
1
N
A
B
D
C
第2题图
A
B
C
D
E
A
B
C
D
第1题图
第3题图
M
2．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD C. ∠ABC＝∠EBD＝45° D. AC∥BE
3．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ）
A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对
4．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.
5．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______
第7题图
A
B
C
D
E
第6题图
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
C
A
E
B
D
第4题图
第5题图
7．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____________.
8．如图所示，，是中点，平分，判断是否平分，说明理由．
如图, △ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交，CF的延长线于D.(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm, 求BD的长.
D
B
A
C
E
F
内江天立初中八年级上学期周末托管数学学科
知识拓展练（十）
【知识要点】
等腰三角形及其性质：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：(1)等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）
等腰三角形的判定：证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：(1)从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；(2)从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．
构造等腰三角形的常用方法
(1)角平分线＋平行线＝等腰三角形 (2)角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形
(3)线段中垂线构造等腰三角形 (4)将2倍角转化为相等角构造等腰三角形
【典型例题】
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角为________________.
变式训练：
01．在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A.7 B.11 C.7或11 D．7或10
02. 在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B＝___________度．
03. 在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．

变式训练：
01．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
(1)求证：AD⊥CF;
(2)连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．

02．如图，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．
(1)试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；
(2)请选一组你写出的相等线段给予证明．
如图在△ABC中，D是BC中点，过点D的直线GF交AC于E交AC的平行线BG与点G，DE⊥GF交AB于E.(1)求证：BG=CF. (2)判断BE+CF与EF的大小关系，说明理由.

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AM=AN.

在中，，，是过点的一条直线，且于，于(1)当直线处于如图1的位置时，猜想、、之间的数量关系，并证明(2)请你在图2选择与(1)不同位置进行操作，并猜想(1)中的结论是否还成立？加以证明；(3)归纳(1)、(2)，请你用简洁的语言表达、、之间的数量关系.
内江天立初中八年级上学期周末托管数学学科
知识拓展练（十一）
例1、如图，在中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.


【小题精练】
01．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．360°
02．已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（ ）
A．9 B．15 C．15 D．12或15
03. 如图，等腰的周长为21，底BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16

第3题 第4题 第5题
04．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（ ）
A．800 B．900 C．1000 D．1080
05．如图，Rt中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF
06．如图，中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①

第6题 第9题 第10题
08．已知等腰的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.
09．如图所示，在中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分线，则AD＝___________.
10．如图，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，则∠ABD的度数是_________.
11. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
A
Q
C
D
B
P
【复习巩固】
如图，已知△ABC是等边三角形，点D. E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系?试证明你的结论.
(2)求∠BFD的度数.
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高.
(1)DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系?并加以证明；
(2)若D在底边的延长线上,(1)中的结论还成立吗?若不成立，又存在怎样的关系?请说明理由.
4. 已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1)，求证：AE=CG；
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并证明.


5.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM.

6.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.


7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AM=AN.

8.已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90∘，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1)，求证：AE=CG；
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并证明.

9.在四边形中，，对角线平分.
(1)如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系并说明理由.
(2)如图2，若将(1)中的条件“”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由.
(3)如图3，若，探究边、与对角线的数量关系并说明理由.


图1 图2 图3

10.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90∘，
①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为___，线段CF、BD的数量关系为___；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C. F不重合)，并说明理由.