高考数学一轮复习：9统计与概率-跟踪训练5（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．已知随机变量服从正态分布，若，则
A．B．C．1D．4
【解答】解：，
，
随机变量服从正态分布，
，解得．
故选：．
2．已知随机变量服从二项分布，则
A．B．C．D．
【解答】解：由随机变量服从二项分布，
可得．
故选：．
3．关于正态曲线的形状，下列描述正确的是
A．由确定，越大，曲线越“矮胖”
B．由确定，越大，曲线越“矮胖”
C．由确定，越大，曲线越“高瘦”
D．由确定，越大，曲线越“高瘦”
【解答】解：根据正态曲线的性质，可知正态曲线关于直线对称，
在处达到最高点函数取得最大值，并由该点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低，
决定曲线的位置和对称性：曲线的形状由确定，
而且当一定时，比较若干个不同的对应的正态曲线可以发现．
越大，曲线越矮胖，越小，曲线越高瘦
综上所述，正确，、、错误．
故选：．
4．已知服从正态分布的随机变量在区间，，，和，内取值的概率分别为，和．若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布，，则此次考试成绩在区间，内的学生大约有
A．477人B．136人C．341人D．131人
【解答】解：根据题意，根据正态分布的对称性，
则，
故此次考试成绩在区间，内的学生大约有136人．
故选：．
5．下列命题中错误的是
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量，若函数为偶函数，则
C．数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8
D．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为
【解答】解：对于，，正确；
对于，由函数为偶函数，则，
所以，
所以区间，关于对称，则，正确；
对于，，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是第六个数据8，正确；
对于，由按分层抽样样本方差的计算公式可知选项缺少平均数的相关数据，错误．
故选：．
6．某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高（单位：服从正态分布，其概率分布密度函数为，，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，该正态分布的对称性为，
根据正态分布曲线的对称性，则．
故选：．
7．若离散型随机变量，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，解得，
．
故选：．
8．已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，
A．0.1359B．0.01587C．0.0214D．0.01341
【解答】解：根据题意在上单调递减，可得，
故，
，
，
．
故选：．
9．已知随机变量，若，则
A．0.64B．0.32C．0.36D．0.72
【解答】解：随机变量服从正态分布，
曲线关于对称，
．
故选：．
10．已知随机变量，且，则的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为随机变量，且，
所以，即，所以，
所以，
令，，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为．
故选：．
11．南沿江高铁即将开通，某小区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布．该小区的甲乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别为
A．①、①B．①、②C．②、①D．②、②
【解答】解：对于甲：有70分钟可走，
若走第一条路：则（2），
若走第二条路：则，
因为（2），故甲走路线②，
对于乙：有64分钟可走，
若走第一条路：则，
若走第二条路：则（1），
因为（1），故乙走路线①．
故选：．
12．已知随机变量，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：随机变量，
则的可能取值为0，1，2，3，4，
，
则．
故选：．
13．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为
C．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大
D．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大
【解答】解：对，由正态分布密度曲线函数，，得，，
该地水稻的平均株高为，所以错误；该地水稻株高的方差为100，所以错误；
对，根据正态分布的对称性可知：，
所以株高在和在（单位：的概率不一样大，所以错误；
对，，所以株高在以上的概率比株高在以下的概率大，所以正确．
故选：．
14．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是
A．甲学科总体的均值最小
B．乙学科总体的方差及均值都居中
C．丙学科总体的方差最大
D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
【解答】解：由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，
由正态密度曲线的性质可知，越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越尖陡，
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．
故选：．
15．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则的值
A．0.1B．0.9C．0.45D．0.05
【解答】解：由已知可得，，所以，
又，
根据正态分布的对称性可得，
所以．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．下列说法正确的是
A．线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
B．若，若函数为偶函数，则
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验 ，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
D．已知，，若，则
【解答】解：对于，相关系数，且越接近于1，相关程度越大，
反之两个变量的线性相关性越弱，错误；
对于，函数为偶函数，则，
即，
又，故区间，与，关于对称，
所以，正确；
对于，因为，故可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，正确；
对于，由，，，
可得，故，
则，则，正确．
故选：．
17．以下四个命题中真命题的是
A．设随机变量服从正态分布，若，则常数的值是2
B．若命题“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为，，
C．圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为
D．已知，，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
【解答】解：设随机变量服从正态分布，若，，解得，则常数的值是3，因此不正确；
若命题“，使得成立”为真命题，则△，解得或，因此实数的取值范围为，，，正确；
圆被直线分成两段圆弧，圆心到直线的距离，较短弧所对的圆心角为，较短弧长与较长弧长之比为，因此不正确；
已知，，解得或，是的充分不必要条件，则实数，因此的取值范围是，正确．
故选：．
18．将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续2次正面的概率．下列四个结论正确的有
A．
B．是递减数列
C．
D．存在某个正整数，使得
【解答】解：对于，根据题意，，错误；
对于，在没有出现连续2次正面的前提下，
设首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
则首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
所以，，
由于，所以，
即是递减数列，正确；
对于，由上可知，，，
设，则有，，解得，，
即，，，错误；
对于，设，解得，
所以有，
即数列是以为公比的等比数列，
，，，
由于，，
所以当，，
可见存在某个正整数，使得，正确．
故选：．
19．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球：2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内这机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是
A．如果将10个相同的小球放入这三个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有36种
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为
【解答】解：将10个相同的小球放入这三个（不同）盒子内，应用插棍法，
把10个小球和3个盒子排成一列有12个空（不含两端），再用2根棍插入其中两个空，
所以不同的放法有种，故错误；
表示第一次抽到1号球，表示第一次抽到2号球，表示第一次抽到3号球，
所以，，
表示第二次抽到3号球，则，
所以，
而，，
所以，故正确；
第二次抽到的是3号球来自1号盒，
第二次抽到的是3号球来自2号盒，
第二次抽到的是3号球来自3号盒，
所以第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故正确；
表示第二次抽到2号球，则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为，故正确．
故选：．
20．已知随机变量，若使的值最大，则等于
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：令，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以和的值最大．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知服从正态分布，且，则 0.1 ．
【解答】解：由题知：，故，
又，
故．
故答案为：0.1．
22．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于0.683，至少要测量 16 次．（附：若，则
【解答】解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在内的概率不小于0.683，
则，，且，，所以，可得．
故答案为：16．
23．某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为 也可以） （结果填整数）．附：若，则，．
【解答】解：由每名学生的成绩，，得，，
则，
则优秀的学生人数为．
故答案为：也可以）．
24．某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 0.4 ．
【解答】解：由题意知，，
，
正态分布曲线的对称轴为直线，
因为，
，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4．
故答案为：0.4．
25．在某市高二的联考中，学生的数学成绩服从正态分布，随机抽取10位学生的成绩，记表示抽取的10位学生成绩在，之外的人数，则 0.3723 ，的数学期望 ．
附：若随机变量服从正态分布，则，，取，．
【解答】解：由已知得：数学成绩服从正态分布，所以，，
所以，
故数学成绩在之外的概率为：，
故，
所以．
．
故答案为：0.3723，0.456．
四．解答题（共3小题）
26．2022年河南、陕西、山西、四川、云南、宁夏、青海、内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“”高考模式．“”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．
（1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪．
附：，，．
【解答】解：（1）根据题意，记选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”为事件，
从物理、历史里选一门，生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门的选法有种，
事件即从剩余生物学、思想政治、化学三个科目中选择一个，有种等可能选法，
所以．
（2）根据题意，设此次网络测试的成绩．
①由于此次测试平均成绩为210分，则，
因为，且，即，
即，，．
又，，
所以前640名学生成绩的最低分低于，
而考生甲的成绩为260分分，则甲同学能够获得荣誉证书．
②若考生乙所说为真（结果是开放的，只要统计理由充分，即可），
则，，
而，所以，
从而．
理由1：根据统计学中的原则，认为为小概率事件，
即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假．
理由，
4000名学生中成绩大于420分的约有人，
这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，
由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真．
27．幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有件．
（1）若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记，则当为何值时，取得最大值．
【解答】解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件，
则（A）
；
即取出的产品中次品不超过1件的概率是；
（2），
；
若，
则，
解得；
故当时，；当时，；
故当时，取得最大值．
即当时，取得最大值．
28．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见表：
从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、元．
（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．
（参考数据：，，
【解答】解：（1）流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值为：
；
（2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或，
或，
，
设生产一件产品的利润为元，则
，
，
，
生产一件成品的平均利润是元，
故一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元；
（3），，，，
设引入该设备后生产一件成品利润为元，
则，
，
，
引入该设备后生产一件成品平均利润为：
元，
引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元，
增加收入万元，
综上可知，应该引入该设备．
第一段生产的半成品的质量指标
或
或
第二段生产的成品为一等品概率
0.2
0.4
0.6
第二段生产的成品为二等品概率
0.3
0.3
0.3
第二段生产的成品为三等品概率
0.5
0.3
0.1