云南省楚雄东兴中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份云南省楚雄东兴中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，从而求得正确答案.
【详解】，，所以.
故选：B
2. 设命题，使得，则为（ ）
A. ，都有B. ，都有
C. ，使得D. ，使得
【答案】A
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解.
【详解】为，都有．
故选：A．
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将一元二次不等式化为标准形式求解即可.
【详解】原不等式化为，即，解得 ，
故原不等式的解集为 .
故选：B.
4. 下列函数中与是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】定义域相同，对应关系一致的两个函数为同一函数，据此可分析各选项确定答案.
【详解】函数，其定义域为.
A.的定义域为R，所以与不是同一个函数，A不符合.
B.，所以与不是同一个函数，B不符合.
C.，其定义域为，所以与不是同一个函数，C不符合.
D.，其定义域为，所以与是同一个函数，D符合．
故选：D．
5. 若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令可得选项A错误；举反例可说明选项B，D错误；利用幂函数的单调性可得选项C正确.
【详解】对于A，当时，，故A错误.
对于B，取，则，，故B错误.
对于C，因为幂函数在上为增函数，且，所以，故C正确.
对于D，取，则，故D错误．
故选：C．
6. 已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数定义列方程，解方程即可.
【详解】由题意可知，，即，
整理得，
即对于恒成立，
则，所以，，
故选：D．
7. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
分析】运用作差法比较大小，结合充分条件和必要条件知识判断即可.
【详解】由，得，所以，则充分性成立；
由，得，则，所以，则必要性成立.
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选:C.
8. 已知，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法可得函数解析式，进而可得值域.
【详解】设，则，
，
，，
函数y=fx的值域为，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列存在量词命题中，是假命题的是（ ）
A.
B. 至少有一个，使能同时被2和3整除
C.
D. 有些自然数是偶数
【答案】AC
【解析】
分析】计算出即可判断A；举例即可判断BD；根据即可判断C．
【详解】对于A，，即，解得，所以是假命题；
对于B，6能同时被2和3整除，所以是真命题；
对于C，因为所有实数的绝对值非负，即，所以是假命题；
对于D，2既是自然数又是偶数，所以是真命题．
故选：AC．
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为且B. 为偶函数
C. 在上单调递增D. 在内有最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数定义域求法、奇偶函数定义、分式型函数单调性的判断依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，由得：，的定义域为，A错误；
对于B，定义域关于原点对称，，
为偶函数，B正确；
对于CD，当时，，
在，上单调递减，
在，上单调递增，C正确，
由偶函数图象关于轴对称可知：在，上单调递减，
在上无最小值，D错误.
故选：BC.
11. 设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据各均值的定义及基本不等式的内容分别判断各选项.
【详解】A选项：，
当且仅当时，等号成立，故A选项正确；
B选项：，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确；
C选项：，
当且仅当时，等号成立，故C选项不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D选项不正确；
故选：AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式建立不等式求解即可.
【详解】由，即，解得，
即函数的定义域是.
故答案为：
13. 已知满足，且，则______.
【答案】4
【解析】
【分析】令得，再令， 即可求解.
【详解】令得，所以，
令，得.
故答案为：4.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意构造出新函数，根据奇函数与奇函数相乘为偶函数，根据偶函数的性质得到函数的单调性，即可求出解集.
【详解】令，则为偶函数，且，
当时，为减函数，
所以当或时，；当或时，；
因此当时，；当时，，
即不等式的解集为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据，得到，可列得不等式组，求解即可；
（2）根据，可求得取值范围.
【小问1详解】
，
因为，所以，
因为，所以，
则解得，
所以m的取值范围为；
【小问2详解】
因为，
所以或，解得或，
所以实数m的取值范围为或.
16. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），的值分别为，，或，.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值；
（2）由判别式可得．
【小问1详解】
由题意可知，，1是方程的两根，
所以，，
解得，或，.
故，的值分别为，，或，.
【小问2详解】
当时，，
若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，
则，
即，解得，
故的取值范围是.
17. 已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）若，用定义法证明：函数在上单调递增.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义列方程求得，然后根据函数单调递增得，即可得解.
（2）由（1）得，然后利用单调性的定义证明其单调性即可.
【小问1详解】
由幂函数的定义可知，，解得，
由幂函数在上单调递增，则，可得，
所以；
【小问2详解】
由的图象经过点，得，所以，
则，
对，且，
则有，
因为，所以，所以．
因为，所以，所以，则，
故函数在上单调递增．
18. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本万元，当年产量（单位：万件）低于10万件时，流动成本（万元），当年产量（单位：万件）不低于10时，（万元）.经调研，每件水果箱售价为元，每年加工的水果箱能全部售完.
（1）求年利润关于年产量（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润年销售额固定成本流动成本）
（2）求年产量（单位：万件）为多少时，年利润取得最大值，并求出的最大值.
【答案】（1）
（2）年产量为万件时，年利润取得最大值21万元
【解析】
【分析】(1)根据年利润年销售额固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；
(2)当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式求最大值，最后综合即可．
【小问1详解】
当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
当时，，
此时，；
当时，，
当且仅当，即时，取得等号．
因为，所以年产量为万件时，年利润取得最大值21万元．
19. 已知是定义在上的单调递增函数，且.
（1）解不等式；
（2）若对和恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解集为
（2）
【解析】
【分析】（1）由，不等式，化为，结合单调性，即可求；
（2） 恒成立问题较为最值问题，即在恒成立，进而转化为求在恒成立，对和讨论即可.
【小问1详解】
是定义在上的单调递增函数，且，
则，即
有,解得，
故所求解集为.
小问2详解】
在上单调递增，
当时，.
问题转化为，
即，对成立.
接下来求的取值范围.
设，
①若，则，对成立；
②若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且，
或.
或或，即的取值范围是.