2025年新高考数学一轮复习第5章第02讲平面向量的数量积及其应用(八大题型)(讲义)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc171802455" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc171802455 \h 3
\l "_Tc171802456" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc171802456 \h 4
\l "_Tc171802457" 知识点1：平面向量的数量积 PAGEREF _Tc171802457 \h 4
\l "_Tc171802458" 知识点2：数量积的运算律 PAGEREF _Tc171802458 \h 4
\l "_Tc171802459" 知识点3：数量积的性质 PAGEREF _Tc171802459 \h 5
\l "_Tc171802460" 知识点4：数量积的坐标运算 PAGEREF _Tc171802460 \h 5
\l "_Tc171802461" 解题方法总结 PAGEREF _Tc171802461 \h 6
\l "_Tc171802462" 题型一：平面向量的数量积运算 PAGEREF _Tc171802462 \h 7
\l "_Tc171802463" 题型二：平面向量的夹角问题 PAGEREF _Tc171802463 \h 8
\l "_Tc171802464" 题型三：平面向量的模长 PAGEREF _Tc171802464 \h 9
\l "_Tc171802465" 题型四：平面向量的投影、投影向量 PAGEREF _Tc171802465 \h 9
\l "_Tc171802466" 题型五：平面向量的垂直问题 PAGEREF _Tc171802466 \h 11
\l "_Tc171802467" 题型六：建立坐标系解决向量问题 PAGEREF _Tc171802467 \h 11
\l "_Tc171802468" 题型七：平面向量的实际应用 PAGEREF _Tc171802468 \h 13
\l "_Tc171802469" 题型八：向量回路恒等式 PAGEREF _Tc171802469 \h 15
\l "_Tc171802470" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc171802470 \h 16
\l "_Tc171802471" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc171802471 \h 17
\l "_Tc171802472" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc171802472 \h 18
\l "_Tc171802473" 易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错 PAGEREF _Tc171802473 \h 18
\l "_Tc171802474" 答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积 PAGEREF _Tc171802474 \h 19
知识点1：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【诊断自测】（2024·安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）
A．4B．6C．8D．16
知识点2：数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
【诊断自测】（2024·四川雅安·模拟预测）在中，，， 且， 则（ ）
A．B．C．D．
知识点3：数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
【诊断自测】（2024·西藏·模拟预测）已知向量，．若，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．2
知识点4：数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
【诊断自测】已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
解题方法总结
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．

题型一：平面向量的数量积运算
【典例1-1】设平面向量，，且，则=（ ）
A．1B．14C． D．
【典例1-2】在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5B．2C．D．
【方法技巧】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
【变式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
【变式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【变式1-3】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2024·陕西安康·模拟预测）菱形的边长为，以为圆心作圆且与相切于是与的交点，则 .
【变式1-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
题型二：平面向量的夹角问题
【典例2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知单位向量满足，则 .
【典例2-2】（2024·陕西·二模）已知，则向量的夹角的余弦值为 .
【方法技巧】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
【变式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ．
【变式2-2】已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ．
【变式2-3】（2024·高三·天津宁河·期末）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为 ．
【变式2-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则 .
【变式2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量满足，且，则的夹角大小为 ．
【变式2-6】（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则 ．
题型三：平面向量的模长
【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知向量满足，则
【典例3-2】（2024·浙江温州·二模）平面向量满足，，，则 ．
【方法技巧】
求模长，用平方，．
【变式3-1】（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量，，且与共线，则 .
【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量，满足，，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
【变式3-3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 .
题型四：平面向量的投影、投影向量
【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为 .
【变式4-4】已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-5】已知双曲线的左､右焦点分别为B，C，以BC为直径的圆与渐近线交与点A，连接AB与另一条渐近线交与点E，为原点，，且.若在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
题型五：平面向量的垂直问题
【典例5-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．2或3B．或C．1或D．或6
【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】

【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．0B．2C．D．
【变式5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2024·重庆·模拟预测）已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ．
【典例6-2】如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则
【方法技巧】

边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
【变式6-1】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则 .
【变式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 .
【变式6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ．
【变式6-4】如图，正八边形中，若，则的值为 ．
题型七：平面向量的实际应用
【典例7-1】（2024·高三·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走了 kmB．向西南走了 km
C．向东南走了 kmD．向西南走了 km
【典例7-2】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25B．5C．D．
【方法技巧】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且，在下列角度中，当角取哪个值时，绳承受的拉力最小.（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏东，
D．北偏东，
【变式7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
题型八：向量回路恒等式
【典例8-1】如图，在平面四边形中，，，则 ．
【典例8-2】如图，在平面四边形中，若，，则 ．
【方法技巧】
向量回路恒等式：
【变式8-1】如图，已知在四边形中，．则 ．
1．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
5．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
7．一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错
易错分析： （1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间的关系是互补还是相等．（2）向量的数量积与代数中，的乘积写法不同，不能漏掉其中的“・”．
【易错题1】在中，，，，则的值为 .
【易错题2】已知在上的投影向量为，则的值为 .
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积
1、模板解决思路
通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解．
2、模板解决步骤
第一步：根据条件，把向量用已知模和夹角的向量表示出来．
第二步：将的表示式代入，再根据定义法求数量积．
第三步：进一步求解相关问题．
【经典例题1】已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 .
【经典例题2】如图，在△ABC中，，，，则 ．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）平面向量的数量积
（2）平面向量数量积的几何意义
2024年I卷第3题，5分
2024年II卷第3题，5分
2023年I卷第3题，5分
2023年II卷第13题，5分
2023年甲卷（理）第4题，5分
2022年II卷第4题，5分
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标：
（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义
（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系
（当且仅当时等号成立）