高考数学一轮复习：2基本初等函数-跟踪练9（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的，里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的 倍（精确到．（参考数据：，，
A．794B．631C．316D．251
【解答】解：，
，即，
当时，地震的最大振幅为，
当时，地震的最大振幅为，
故．
故选：．
2．某商场要将单价分别为36元，48元，72元的3种糖果按的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为
A．52元B．50元C．48元D．46元
【解答】解：定价（元．
故选：．
3．据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了，如果按此规律，设2009年的冬季冰盖面积为，从2009年起，经过年后冬季冰盖面积与的函数关系是
A．B．
C．D．
【解答】解：设北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率为，则，
，
设2009年的冬季冰盖面积为，从2009年起，经过年后冬季冰盖面积与的函数关系是：，
即为：．
故选：．
4．有一组实验数据如表所示：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
A．B．C．D．
【解答】解：由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，
数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项最能反映，之间的函数关系．
故选：．
5．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于
参考数据：；参考时间轴：
A．战国B．汉C．唐D．宋
【解答】解：当时，，
故，解得，所以，
由题意得，，
解得，而，可推断该文物属于唐，
故选：．
6．中国的技术领先世界，技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率取决于信道带宽，经科学研究表明：与满足，其中是信道内信号的平均功率，是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比．当信噪比比较大时，上式真数中的1可以忽略不计．若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（附
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知，信噪比为1000时最大数据传输速率约为：，
信噪比为4000时最大数据传输速率约为：，
，
故选：．
7．某购物网站在2022年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额折后）满300元时可减免60元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为
A．7B．6C．5D．4
【解答】解：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额折后）满300元时可减免60元”，
即每张订单打折前原金额不少于500元．
由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，
而要购入商品共45件，所以最少需要下的订单张数为4张．
故选：．
8．某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过．若该溶质的半成品含杂质，且每过滤一次杂质含量减少，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤
A．5次B．6次C．7次D．8次
【解答】解：设原有溶质的半成品为，含杂质，经过次过滤，含杂质，
要使该溶质经过次过滤后杂质含量不超过，则，即，
，，
，该溶质的半成品至少应过滤6次，才能达到市场要求．
故选：．
9．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为，那么前四日所取木棒的总长度为
A．1B．C．D．
【解答】解：由题意可知，每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，
则前四日所取木棒的总长度为．
故选：．
10．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是
（参考数据：，，，．
A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年
【解答】解：设从2021年后，第年该公司全年投入的研发资金为万元，
则，
由题意可得，，即，
故，则，
故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年．
故选：．
11．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：与时间（单位：年）近似满足关系式，，其中为抗生素的残留系数，当时，，则
A．B．C．D．
【解答】解：当时，，，
则，化简整理可得，，解得．
故选：．
12．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，则的值约为 ．（参考数据：，
A．36.9B．41.5C．58.5D．63.1
【解答】解：设数量没有扩增前数量为，
由题意可得，，即，
所以，即，
故．
故选：．
13．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则鲑鱼以游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的
A．7倍B．8倍C．9倍D．10倍
【解答】解：由得．
当时，，
当时，，
故，
故选：．
14．按复利计算利息的一种储蓄，本息和（单位：万元）与储存时间（单位：月）满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）若本金为5万元，在第22个月时本息和为20万元，则在第33个月时本息和是 万元．
A．36B．40C．50D．60
【解答】解：由题意有，，
则，即，
则，
即第33个月时本息和是40万元．
故选：．
15．第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量）．如果前4小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要
A．3.6小时B．3.8小时C．4小时D．4.2小时
【解答】解：因为前4小时消除了的污染物，所以，解得，
设经过小时污染物消除至最初的，则，
即，解得，
所以污染物消除至最初的还需要小时．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．树人中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动．两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第，天募得的捐款数为元．若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则
A．
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有
D．，且
【解答】解：设第天甲小组募得捐款为，且，
对于甲小组，，，
，，
，，且，
，故错误；
设代表第天乙小组募得捐款，由题可知，
，，故错误；
，，故正确；
令，，
当时，，
数列为递增数列，
，，故正确．
故选：．
17．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
A．消耗汽油，乙车最多可行驶
B．甲车以的速度行驶消耗约汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80千米小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【解答】解：对于，由图可知，当乙车速度大于时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过，故错误，
对于，甲车以的速度行驶时，燃油效率为，则行驶消耗约汽油，故正确，
对于，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，故错误，
对于，在机动车最高限速80千米小时相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，故更省油，故正确．
故选：．
18．如图，假定两点，相同的初速度运动．点沿直线做匀速运动，；点沿线段（长度为个单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从，出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示与的对应关系就是，其中为自然对数的底数．
则下列结论正确的是
A．当点在线段的三等分点（靠近点时，
B．当点在线段的中点时，
C．当点从线段的三等分点（靠近点移动到中点时，经过的时间为
D．当点从线段的三等分点（靠近点移动到中点时，经过的时间为
【解答】解：由题意可知，当点在线段的三等分点（靠近点时，
点的速度大小为，
则，解得，故错误，
当点在中点时，，解得，故正确，
当点从线段的三等分点（靠近点移动到中点时，经过的时间为，故正确，错误．
故选：．
19．某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．降雨量的等级划分如下：
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为，瓶口高度为收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是
A．B．C．D．
【解答】解：设降雨量为，容器内雨水高度为，根据体积相等得：，解得，由，，可得，．
20，，，25，，．
故选：．
20．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍
C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
【解答】解：，
，故选项正确，
，故选项错误，
，，
故选项错误，选项正确．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是 ①④ ．
①浮萍每月的增长率为2；
②浮萍每月增加的面积都相等；
③第4个月时，浮萍面积不超过；
④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则．
【解答】解：将点的坐标代入函数的解析式，解得，
故函数的解析式为，
对于①，，
则浮萍每月的增长率为2，故①正确，
对于②，浮萍第1个月增加的面积为，
第2个月增加的面积为，故②错误，
对于③，第4个月时，浮萍的面积为，故③错误，
对于④，由题意可得，，，，
，即，
所以，故④正确，
故正确的为①④．
故答案为：①④．
22．已知，两城市的距离是、根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是6元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，其它费用是36元．为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是 57 （精确到，参考数据
【解答】解：由题意可知，行车的总费用，
当且仅当，即时，等号成立，
故为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是．
故答案为：57．
23．个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点五险一金（个人缴纳部分）累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为 1790元 ．
【解答】解：需要交费的金额元，
第一级数交费，剩余元
第二级数交费元，剩余元，
第三级数交费，
合计元，
故答案为：1790元．
24．中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”，具体方案如表：
某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择方案 3 较合算．
【解答】解：月通话量平均为320分钟，
方案1的月话费为：（元；
方案2的月话费为：（元；
方案3的月话费为168元，其它方案的月话费至少为268元．
经比较，选择方案3较合算．
故答案为：3．
25．中国古代数学著作《九章算术》中记载买鸡问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”设人数为，鸡价为，则那么， 9 ， ．
【解答】解：由
①②得，再将代入①解得．
故答案为：9；70．
四．解答题（共3小题）
26．某公司有两种活期理财产品，投资周期最多为一年，产品一：投资1万元，每月固定盈利40元．产品二：投资1万元，前个月的总盈利（单位：元）与的关系式为．已知小明选择了产品二，第一个月盈利10元，前两个月盈利30元．
（1）求的解析式；
（2）若小红有1万元，根据小红的投资周期的不同，探讨她在产品一和产品二中选择哪一个，才能获得最大盈利．
【解答】解：（1）由题知，，（1），（2），
所以，解得，
所以的解析式为，；
（2）由（1）得，，
由题知，投资产品一：投资1万元，每月固定盈利40元，设总盈利为函数，元，
投资产品二：收益为元，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
所以小红的1万元投资周期小于7个月，选产品一获得最大盈利；
小红的1万元投资周期为7个月，选产品一或产品二获得最大盈利相同为280元；
小红的1万元投资周期大于7个月，选产品二获得最大盈利．
27．人对声音的感觉与它的强度有关，声音的强度用（单位：表示，但在实际测量时，声音的强度水平用（单位：分贝）表示，它们满足以下公式：，其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端．
（1）若树叶沙沙声的强度，耳语的强度，恬静的无线电广播的强度，分别求出它们的强度水平；
（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度范围为多少？
【解答】解：（1）树叶沙沙声的强度水平为（分贝）；
耳语的强度水平为（分贝）；
无线电广播的强度水平为（分贝）；
（2）由题意得，即，解得．
28．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表：
（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；
（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？
【解答】解：（1）解：设用水量为，水费为元，
当时，，
当时，，
当时，，
故每月用水量和水费之间的函数关系为．
（2）由（1）可得，当时，，不符合题意，舍去，
当时，令，解得，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
综上所述，此月此户居民的用水量为．
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
1.5
2.5
2.9
3.6
4.0
等级
降用量
小雨
中雨
，
大雨
，
暴雨
，
大暴雨
，
特大暴雨
，
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3000元的部分
2
超过3000元至12000的部分
3
超过12000元至25000的部分
方案代号
基本月租（元
免费时间（分钟）
超过免费时间的话费（元分钟）
1
30
48
0.60
2
98
170
0.60
3
168
330
0.50
4
268
600
0.45
5
388
1000
0.40
6
568
1700
0.35
7
788
2588
0.30
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
9元