浙江省杭州市六县九校2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题含解析

这是一份浙江省杭州市六县九校2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题含解析，共18页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知两条直线和，下列不正确的是( )
A. “”是“”的充要条件B. 当时，两条直线间的距离为
C. 当斜率存在时，两条直线不可能垂直D. 直线横截距为
5.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的范围是（ ）
A． B．C．D．
8. 已知，，则的最小值为（ ）
A. 8B. C. 2D.
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
10．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有( )
A. 的一个方向向量为B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C.与直线垂直D. 与直线平行
11.下列说法正确的是( )
A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
B. 若，是互斥事件，则
C. 某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取人
D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图把三片这样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体若图中每个正方体的棱长为，则（）
A. B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为
C. 点到直线的距离是D. 异面直线与所成角的正切值为
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某地一年之内个月的降水量分别为：，，，，，，，，，，，，则该地区的月降水量分位数.
14.已知，及轴上的动点，则的最小值为.
15.已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：上的动点到直线距离的最大值为 .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
已知在中，，，．
Ⅰ求边的垂直平分线的方程；Ⅱ求的外接圆的方程．
19. 已知直线过点P，
（1）求在坐标轴上截距相等的直线的方程。
（2）若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程。
20.已知表示圆的方程．
求实数的取值范围；当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程．
为圆上任意一点，已知，在的条件下，求的最小值.
21.如图在四棱锥中，，，，，，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由.
22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，坐标原点到直线的距离为．
求椭圆的方程；
已知定点，若直线与椭圆相交于两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2023学年第一学期六县九校联盟期中联考
高二年级数学学科 参考答案
命题：文昌中学 叶洪清 联系电话 18069876909
审稿：萧山十中 陈元江 联系电话 13968014050
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.6114. 15.16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题 10 分）
（1）因为，
所以.………………………………………………………2分
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为.……………6分
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为.……………………………………………10分
18.【答案】解：Ⅰ设的中点坐标为：，
由于，，
所以，
所以的垂直平分线的方程为，
整理得：．
Ⅱ由于，，
所以的垂直平分线的方程为．
所以，
解得，
即外接圆的圆心为，
圆的半径为．
所以圆的方程为．
【解析】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
Ⅰ直接利用点的坐标求出直线的斜率，进一步求出直线的方程；
Ⅱ首先求出中垂线的交点，即求出外接圆圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．
（本题 12 分）(1)当截距为零时，直线方程为
当截距不为零时，令方程为，代入点，可得，此时直线方程为分
设直线的方程为，由题意可得
令，则，令，则，即，从而当且仅当，即时取到12，所以直线方程为分
20.【答案】解：由题可知：，
该方程表示圆，则，
即，解得．
则实数的取值范围为；
令， ，
开口向下，对称轴为，
当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为，
当切线的斜率不存在时，切线方程为满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即．
圆心到切线的距离等于半径长，
即，解得，
即切线方程为，即；
综上所述，所求切线方程为和；
设，
则，
设，则表示圆上的点与点的距离的平方，
由知，
又，则点在圆外面，
所以，
则．
则的最小值为．

【解析】本题考查圆的方程，圆的切线以及点到圆上的点的最值问题．
根据方程表示圆，列出不等式，从而可得答案；
求出圆的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；
设，则，设，则表示圆上的点与点的距离的平方，求出的最小值，即可得解．
21.【答案】解：Ⅰ取中点，连接、，
，分别为，的中点，，且，
又，，，且，
四边形为平行四边形，
，而平面，平面，
平面
Ⅱ取中点，连接、，
，为等腰直角三角形，，，
又，，，
，，
，、平面，
平面，而平面，故，
以为原点，以方向分别为轴、轴、轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，， ，
故平面的一个法向量为，
故点到平面的距离为
Ⅲ设点在棱上，，
设面的一个法向量为，
取，面的一个法向量为
同理：面的一个法向量为
令半平面与半平面所成二面角的平面角为，为锐角，
即，舍
此时
故当时，半平面与半平面所成二面角的余弦值为
22 .本小题分解(1) 已知直线，则由题意可得
且，解得，所以椭圆方程为. …………………5分
假设存在实数，使得以CD为直径的圆过定点E. 联立与椭圆方程，可得. 设，则
又，，要使以CD为直径的圆过点,当且仅当,即，
,
代入并整理可得，成立，
综上可得存在.,使得以CD为直径的圆过定点E.……………………………………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
B
D
B
C
题号
9
10
11
12
答案
BC
AC
AC
BCD