山东省聊城市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省聊城市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间两点,,则A,B两点间的距离是( )
A.2B.3C.4D.9
2．若直线l经过点,,则直线l的斜率是( )
A.B.C.D.
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
4．已知直线与圆相交于A,B两点,则( )
A.B.4C.D.2
5．已知空间三点,,,则点P到直线的距离是( )
A.B.C.D.
6．过,两点的直线l的倾斜角为,则( )
A.B.C.或D.2
7．在正三棱柱中,D为棱的中点,与交于点E,若,则与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
8．若过直线上一点P作圆的两条切线,切点为A,B,则的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设直线的交点为,则( )
A.恒过定点
B.
C.的最大值为
D.点到直线的距离的最大值为5
10．直线l的方程为,则直线l的倾斜角的可能取值?( )
A.B.C.D.
11．已知正方体的棱长为2,点P满足,其中,,则( )
A.存在唯一点P,使得平面
B.存在唯一点P,使得平面
C.当时,点到平面的距离的最小值为
D.当时,三棱锥的体积的最小值为
三、填空题
12．若实数x,y满足方程,则的最小值为________.
13．曲线围成的图形的面积是___________.
14．已知正四棱柱,,O为对角线的中点,过点O的直线与长方体表面交于E,F两点,M为长方体表面上的动点,则的取值范围是________.
四、解答题
15．如图,长方体中,,设.
（1）证明:平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16．已知的顶点,AB边上的中线CM所在直线方程为,AC的边上的高BH所在直线方程为.
（1）求顶点C的坐标;
（2）求直线BC的方程.
17．已知直线l经过直线,的交点P,且､两点到直线l的距离相等.
（1）求直线l的一般式方程;
（2）若点A,B在直线l的同侧,且Q为直线l上一个动点,求的最小值.
18．如图,在矩形中,,,沿将折起,点D到达点P的位置,使点P在平面的射影H落在边上.
（1）证明:;
（2）求点B到平面的距离;
（3）若,求直线与平面所成角的正弦值.
19．在平面直角坐标系中,已知圆C经过原点和点,并且圆心在x轴上.
（1）求圆C的标准方程;
（2）设为圆C的动弦,且不经过点P,记,分别为弦,的斜率.
（i）若,求面积的最大值;
（ii）若,请判断动弦是否过定点?若过定点,求该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意,
故选:B.
2．答案：D
解析：由题意,
故选:D.
3．答案：C
解析：对于A，，所以，，共面，故A错误；
对于B，，所以，，共面，故B错误；
对于C，假设，，共面，
则存在，使得，
则，，共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，
所以，，不共面，故C正确；
对于D，，所以，，共面，故D错误.
故选：C.
4．答案：A
解析：圆的圆心,半径,
圆心到直线的距离,
则弦的长
故选:A
5．答案：D
解析：因为,,,
所以,,则,,
所以点P到直线的距离.
故选:D
6．答案：A
解析：由题意可得,,化简可得,
解得或,
当时,,,两点重合,故舍去.
所以.
故选:A
7．答案：B
解析：连接,取中点O,连接,,则,,所以是与所成的角或其补角,
正棱柱中所有侧棱都与底面上的任意直线垂直,
设,则,所以,
,
等边三角形中,,
,
,在等腰中,,
,
中,,
所以与所成角的余弦值是,
故选:B.
8．答案：D
解析：圆的圆心,半径
四边形中,,
则,整理得,
又,
最小值即为圆心C到直线的距离,
则
故选:D
9．答案：ABD
解析：对于选项A,因为直线,即,
令,解得,所以恒过定点,故A正确;
对于选项B,因为直线,满足,
所以,故B正确;
对于选项C,联立两直线方程,解得,
所以,
则
,
令,则,所以,
且在上单调递增,当时,,
所以,故C错误;
对于选项D,由A可知,直线恒过定点,
则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离,
即,故D正确;
故选:ABD
10．答案：ABC
解析：当时,直线l的方程为,直线l的倾斜角为,
当时,直线l的方程可化为,
则直线l的斜率,则或,
则直线l的倾斜角的取值范围为,
综上,直线l的倾斜角的取值范围为.
故直线l的倾斜角可能取值为,,.
故选:ABC
11．答案：ACD
解析：以D为原点,,,所在方向分别为x轴、y轴、z轴,建立空间坐标系,如图所示:
则,,,,,,,,
对于A,因为,,
所以,,
所以,
又因为,,
设平面的法向量为,
则,所以,
取,则,
又因为平面,
所以,
所以,,
所以,唯一确定,故正确;
对于B,因为,
要使平面,
则,
所以,
所以,
故点P不唯一,故错误;
对于C,因为,所以A,C,P三点共线,
因为,
设点到平面的距离为d,
则有,所以,
设P到的距离为h,
则,
当P与C重合时,,
所以,故C正确;
对于D,因为,所以点P在以D为圆心,1为半径的圆弧上,
设P到的距离为
因为,
当点P位于圆弧中点时,.
所以,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：由实数x,y满足方程,可得,则
,
则的最小值为.
故答案为:
13．答案：
解析：将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于x轴，y轴对称，
因此只需求出第一象限的面积即可，
当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，
，
故围成的图形的面积为：.
故答案为：.
14．答案：
解析：O为的中点,即为正四棱柱的中心,由对称性,O为的中点,
则,
,,,所以,
所以,
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接,设,连接,如图:
则,且,所以四边形是平行四边形,
所以,平面,平面
故平面.
（2）以D为坐标原点,,,方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,所以,,,
,,
,.
设平面的法向量,
则,即
令,解得,,
,
设平面的一个法向量,
则,即令,解得,
.
设平面与平面的夹角为,
故平面与平面夹角的余弦值为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,
AB边上的中线CM所在直线方程为,
AC边上的高BH所在直线方程为.
,解得.
.
（2）设,则,
解得.
.
.
直线BC的方程为,即为.
17．答案：（1）或
（2）
解析：（1）由,解得,所以交点
①当所求直线与直线平行时,直线的斜率为,
则所求直线的方程为,即;
②当所求直线过的中点时,线段的中点坐标为,
则所求直线垂直于x轴,故所求直线方程为,即;
综上所述,所求直线方程为或.
（2）因为点A,B在直线l的同侧,所以直线l的方程为,
设点A关于直线l的对称点为,
则,
解得,即点,
因为,
当Q,B,C三点共线时等号取到,
故的最小值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）由点P在平面的射影H落在边上可得:平面,
又平面,所以,
又,且平面,平面,,
所以平面,又平面,故.
（2）作,垂足为,
由已知得:且平面,平面,,
从而平面,且平面,所以平面平面,
又平面,平面平面,,
所以平面,即即为点B到平面的距离,
在直角三角形中,,所以,
故点B到平面的距离为.
（3）在直角三角形中可得,,以点为坐标原点,
分别以,所在直线为x,y轴,以过点B且垂直于平面的直线为z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
,,,因为,
所以,从而,
易知,,
设平面的一个法向量为,
所以,解得:,
又直线的方向向量为,
因此可得
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）（i）1,
（ii）过定点,
解析：（1）设圆的标准方程为,
由已知可得:
解得:,,,
所以圆的标准方程为
（2）（i）因为,所以,
从而直线经过圆心,是直角三角形,且,
设,,则,
又,所以,当且仅当时取等号,
所以.
（ii）由已知得:直线的斜率必存在,
设直线的方程为,,,
由,消去y得:,
,,,（※）
又,
即,
代入（※）得:,
即,
解得:,或,
当时,此时直线的方程为,过定点（舍去）,.
当时,此时直线的方程为,过定点,
故当,动弦过定点.