山东省青岛市城阳第八中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省青岛市城阳第八中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故不合题意；
B、中分母含有未知数，不是整式方程，故不合题意；
C、是一元二次方程，故符合题意；
D、当时，的系数为0，故不是一元二次方程，故不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2. 某小区有人，随机调查了人，其中人观看了杭州亚运会的比赛．在该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查概率公式和用样本估计总体，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解题的关键是掌握概率的公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件A的概率．
【详解】解：∵随机调查了人，其中人观看了杭州亚运会的比赛，
∴该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是：．
故选：A．
3. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 对角线垂直的四边形是菱形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 直角三角形的斜边长等于斜边上中线长的两倍
D. 若连接一个四边形四边中点所得的图形是菱形，则原四边形一定是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的判定，矩形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，中点四边形的判定和性质逐项分析即可．
【详解】解：A、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边长的等于斜边上中线的两倍，故原命题是真命题，符合题意；
D、顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形可能是矩形，也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，菱形的判定，矩形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，中点四边形的判定和性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把x=0代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值为，
故选：．
5. 近年来某市不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿地面积不断增加，从年底到年底的城市绿化面积变化如图所示，则这两年绿地面积的年平均增长率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从图上可以看出，2016年底、2018年底的城市绿化面积，设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意得：
300(1+x)2=363
解得：x₁=0.1=10%，x₂=-2.1(不合题意，舍去)
答：这两年绿地面积的年平均增长率是10%．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题的应用，看懂图，从中找到相关的信息是解题的关键．
6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A. B. 0C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，根据题意，利用一元二次方程根的判别式及定义，列出不等式即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
，且，
解得：，且，
则实数m的值可以是2，
故选：C．
7. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数除以2．
关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可．
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：．
故选：B．
8. 如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n的值为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】由S=n（n+1）结合S=66，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】根据题意得：S=n（n+1）．
∵S=66，∴n（n+1）=66，解得：n1=11，n2=﹣12（舍去）．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（ ）

A. B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：，，
四边形平行四边形，
又，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴
又
∴四边形是平行四边形，
，，，
，
∴．
二、填空题（本大题共5个小题，共20分）
10. 一个不透明的袋子中有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其它都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为，由此可估计黑球的个数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的应用，设黑球有个，根据概率公式列出方程， 解方程，即可求解．
【详解】设黑球有个，根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解
故答案为：．
11. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，
由题意得，，
同理得，
解得或（舍去），
∴小路宽为，
故答案为：．
12. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形的中点四边形，如果，，那么四边形的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积进行计算．
【详解】解：，，，是四边形的中点四边形，如果，，
∴,,
则，
∴，，
同理可得，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的两条对角线，互相垂直，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形的判定，掌握三角形中位线的性质，矩形的判定是解题的关键．
13. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，CO＝3（舍去）．
∵AE⊥BC，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，边长为1正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】连接BP作EF⊥BC于点F,由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形,根据边长为1,得到BE=1,可求EF,利用面积法得S△BPE+S△BPC=S△BEC,将面积公式代入即可.
【详解】解:连接BP作EF⊥BC于点F则∠EFB=90°,由正方形的性质可知∠EBF=45°,
∴△BEF为等腰直角三角形,
又根据正方形的边长为1,得到BE=BC=1,
在直角三角形BEF中,sin∠EBF=,即,BF=EF=BEsin45°=1×,
又PM⊥BD,PN⊥BC,
∴S△BPE+S△BPC=S△BEC,即BE×PM+×BC×PN=,
∵BE=BC,
PM+PN=EF=.
【点睛】本题考查了正方形性质和三角函数,中等难度,作辅助线,利用面积法将求线段和转换成求EF是解题关键.
三、作图题：（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15. 已知：∠MAN和线段a．
求作：菱形ABCD，使顶点B，D分别在射线AM，AN上，且对角线AC＝a．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】先作∠MAN的平分线，在角平分线上截取AC=a，再作AC的垂直平分线交AM于B，交AN于D，则四边形ABCD为菱形．
【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
16. 用适当的方法解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法，因式分解法和公式法是解题的关键．
（1）先配方成，再用直接开平方法求解；
（2）先化为一般式，找出，求出根的判别式，再利用求根公式求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：
或，
∴；
【小问2详解】
解：
，
∴；
【小问3详解】
解：
或
∴；
【小问4详解】
解：
，
∴．
17. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】（1）
（2）树状图见解析，该游戏对双方公平
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
【答案】当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意得，，
整理得，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
∴，
答：当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈．
19. 南山花卉市场一花店新进了一种文竹，每盆进价为18元，投放市场进行了试销．经过调查得到每天销售量y（盆）与销售单价x（元/盆）之间满足一次函数关系，部分数据如下：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）该花店既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不得高于），请你帮助分析，花店将销售单价定为多少时可获利312元．
【答案】（1）y与x之间的函数关系一次函数，关系式为：
（2）花店将销售单价定为元时可获利312元
【解析】
【分析】（1）根据题意设每天销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式为：并由题意用待定系数法即可求出答案；
（2）由题意根据利润=销售量×（销售单价－成本）列式得出二次函数解析式，再根据产品利润率不高于且成本为18元，得出销售单价的范围，令，解方程即可求解．
【小问1详解】
y与x之间的函数关系一次函数，
设每天销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式为：．
把，代入得，
解得，
∴y与x之间的函数关系为：；
【小问2详解】
解：∵每个生产成本为18元，一件产品的利润率不得高于50 ，
∴，
设该公司获得的利润为w万元，
则
，
令，
解得：，（不满足，舍去），
∴当时，w为312万元．
答：花店将销售单价定为元时可获利312元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键在于得出y与x之间的函数关系．
20. 如图，在平行四边形中，交于点O，点E，F分别是的中点．

（1）求证：；
（2）求证：当，四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可得到四边形是平行四边形，即可求证；
（2）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求证．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
证明：在平行四边形中，AD∥，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
由（1）得：四边形平行四边形，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
21. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向终点运动，点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）是否存在某一时刻，使平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3 （2）
（3）1或3
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，可得，列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）根据菱形的性质可得，勾股定理表示出，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）过点作于点，则，可证明，以及四边形是矩形，故，，在中由勾股定理建立方程，求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得 ，
∵四边形是矩形，
∴，
，
四边形是矩形，
，即
解得；
【小问2详解】
解：四边形 是矩形，
，
四边形是菱形，
，
在中，由勾股定理得，
解得；
【小问3详解】
解：过点作于点，则
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴在中，，
解得：或，
∴当或时，平分．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质，是解题的关键．
销售单价x（元/盆）
…
20
25
30
35
…
每天销售量y（盆）
…
60
50
40
30
…