河北省石家庄市桥西区润德学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄市桥西区润德学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 16 个小题，共 42分．1－10小题各3分，11－16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的）
1. 若等腰三角形的顶角为80º，则它的底角度数为（ ）
A 20°B. 50°C. 80°D. 100°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为×（180°-80°）=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为【 】

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】略
【详解】∵∠B=∠C，AB=5，
∴AB=AC=5．
故选D．
点睛】略
3. 在Rt△ABC中，，斜边AC的长为5cm，则AB的长为 （ ）
A. 2.5cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据30°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=30°，∠B=90°，斜边AC的长5cm，
∴AB=AC=2.5cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握30°角对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
4. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A 1，2，3B. 1，，C. ，2，D. 4，5，6
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理来判定直角三角形，对于每一项，判定三边是否满足勾股定理，即可得出．
【详解】A、因为12+22≠32，所以不能组成直角三角形；
B、因为12+（）2=（）2，所以能组成直角三角形；
C、因为22+（）2≠（）2，所以不能组成直角三角形；
D、因为42+52≠62，所以不能组成直角三角形．
故选：B．
【点睛】考查了勾股定理在判定直角三角中的应用，掌握勾股定理的内容是解题关键．
5. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中与∠ABD互余的角有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角之和等于90°的性质即得出结果．
【详解】解：∵∠BAC=90°
∴∠ABD+∠C=90°
又∵AD⊥BC
∴∠BDA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
故图中与∠ABD互余的角有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到与∠ABD和为90°的角是关键．
6. 如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三条中线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果．
【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，
∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处；
故选A．
7. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断，又，，所以，所以．
【详解】解：，
，
由，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明．
8. 如图，已知正方形的面积为25，且比小1，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，由条件可先求得的长，则可求得，在中，利用勾股定理可求得的长．
【详解】解：∵正方形的面积为25，
，
∵比小1，
，
在中，由勾股定理可得，
故选：A．
9. 在和中，，则下列条件中不能判定的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法：，，，，．做题时要认真验证各选项是否符合全等要求．针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中虽是两边相等，但不是对应边对应相等，则不能判定三角形全等．
【详解】解：A、∵，，，
∴由能判定和全等，故此选项不符合题意；
B、当时，，，但与不是对应边，
∴不能判定和全等，故此选项符合题意；
C、∵，，，
∴由能判定和全等，，故此选项不符合题意；
D、∵，，，
∴由能判定和全等，，故此选项不符合题意．
故选：B．
10. 如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是
A. 射线OE是∠AOB的平分线
B. △COD是等腰三角形
C. C、D两点关于OE所在直线对称
D. O、E两点关于CD所在直线对称
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，
∴△EOC≌△EOD（SSS）．
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．
B、根据作图得到OC=OD，
∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．
C、根据作图得到OC=OD，
又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．
∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．
D、根据作图不能得出CD垂直平分OE，∴CD不是OE的垂直平分线，
∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．
故选：D．
11. 将一张正方形纸片按图1、图2所示的方式依次对折后，再沿图3中的虚线剪裁，最后将图4中的纸片打开铺平，所得到的图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】解：根据流程进行裁剪，得到的图案为：
故选B．
12. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE＝1 cm，△ACD的周长为12 cm，则△ABC的周长是( )
A. 13 cmB. 14 cmC. 15 cmD. 16 cm
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后将△ABC的周长转化为△ACD的周长和线段AD、DB的和即可得△ABC的周长=BA+AC+CD+DB=BA+（AC+CD+DA）．
【详解】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AB=2AE=2×1=2cm；
DB=DA
∴△ABC的周长为
BA+AC+CD+DB=BA+（AC+CD+DA）=2+12=14cm．
△ABC的周长是14cm．
故选B
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，得到DB=DA，是正确解答本题的关键．
13. 如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①上任意一点到点C、点B的距离相等；②上任意一点到的距离相等；③；④．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得上的点到两边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后对各小题分析判断解答即可．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴垂直平分，
∴上任意一点到点C和点B的距离相等，故①正确；
∵是的角平分线，
∴上任意一点到的距离相等，故②正确；
∵，是的角平分线，
∴，故③正确；
又∵，
∴，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
14. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A. 20B. 12C. 14D. 13
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A. 10B. 7C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，
故选：C．
16. 如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB=OC；②点O到直线AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边所在直线的距离相等；④点O在∠A的平分线上，正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，根据角平分线性质逐项证明即可.
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴OE=OG，OF=OG，
∴OE=OF=OG，
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
只有点G是AC的中点时，BO=CO，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④.
故选C
【点睛】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OF=OG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．
17. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. 12≤a≤13B. 12≤a≤15C. 5≤a≤12D. 5≤a≤l3
【答案】A
【解析】
【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．
即a的取值范围是12≤a≤13．
故选：A．
18. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A. 52B. 42C. 76D. 72
【答案】C
【解析】
【详解】解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得：x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选C．
19. 如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，，H是边的中点，连接与相交于点G，下列说法错误的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断A选项；证明，判断B选项；证明是等腰直角三角形，判断C选项；证明不平行于，判断D选项．
【详解】解：∵，于点D，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；故A选项正确；
∵于点D，于点E，
∴，，
∴，
在与中，
∴，
∴，故B选项正确；
∵是等腰直角三角形，H是边的中点，
∴，故C选项正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴不平行于，
∵，
∴；
∴，故D选项错误．
故选D．
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（ ）
A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 12 cm
【答案】C
【解析】
【详解】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC于F，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6，DE=2，
∴DM=4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8，
故选C．
二、填空题（本大题共7个小题，每空2分，共18分）
21. 如图，是等边三角形，则____°；若点D在的延长线上，且，则____ °
【答案】 ①. 60 ②. 30
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握“等边对等角”是解本题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：60；30．
22. 如图，在中，，，过上一点D作交的延长线于点P，交于点Q．若，则____， ____．
【答案】 ①. 2 ②. 2
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，，再利用垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而可得，进而利用等角对等边即可解答．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2，2．
23. 如图，等腰中，，的垂直平分线分别交，于点，．若，则________．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到，由垂直平分线的性质得到，最后结合等边对等角、三角形内角和定理解题即可．
【详解】解：等腰中，，
垂直平分
故答案为：50°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边对等角、垂直平分线的性质、三角形内角和等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】过点D作于点E，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半求出DE长，再根据角平分线的性质得CD=DE，再用一次刚才的定理求出BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CP的长．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵，，
∴，
∴，
∵BD平分，
∴，，
在中，，
∵P是BD的中点，
∴．
故答案是：3．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质和含有角的直角三角形的性质．
25. 如图，要从电线杆离地面的C处向地面A处拉一条长的电缆，测得，则电线杆的高度是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含度角的直角三角形的性质和勾股定理．掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
【详解】解：由题可知为直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
26. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果．
【详解】解：延长交于点E，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：6．
27. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，D点从A出发以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为_____秒．
【答案】
【解析】
【分析】画出图形，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示：
∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=＝＝10，
∵ED'是AC的中垂线，
∴CE=5，
连接CD'，
∴CD'=AD'，
在Rt△BCD'中，CD'2=BD'2+BC2，
即AD'2=62+（8-AD'）2，
解得：AD'= ，
∴当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒，
故答案为
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键是根据勾股定理构建直角三角形进行解答．
三、解答题（本大题共4个小题，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
28. （1）如图1，，平分，则的形状是 三角形；
（2）如图2，平分，，，则 ．
（3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ．
（4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ．
（5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ．
【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．
（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果；
（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可；
（3）同法（2）可得：，利用，求解即可；
（4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果；
（5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可．
掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
故答案为：等腰；
（2）∵平分，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；
（3）同法（2）可得：，
∴；
故答案为：12；
（4）同法（2）可得：，
∴的周长；
故答案为：30；
（5）同法（2）可得：，
∴的周长；
故答案为：5cm．
29. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】2880元
【解析】
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据AD和CD得出∠ACD=90°，分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．
【详解】解：连接AC，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，
∴AC==5m，
又∵CD＝12m，DA＝13m，
满足，
∴∠ACD=90°，
∴，，
，
费用（元）．
答：铺满这块空地共需花费2880元．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
30. 如图1，在中，，，于点，，点在上，射线，分别交，两边于，两点，
（1）当点与点重合时，如图2所示，直接写出：
①与之间的数量关系：_____________________；
②与之间的数量关系：_______________________；
（2）当点在线段上时（不与端点重合），如图1所示，则与之间的数量关系： ．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，
（1）①利用等腰直角三角形的性质及等量代换得出，然后利用ASA可证，从而得到；
②先利用全等三角形的性质得出，再利用等腰直角三角形的性质可得出，从而得出
（2）过点P作交AC于点Q，同样利用等腰直角三角形的性质及ASA证明，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出结论．
【小问1详解】
（1）① ，理由如下：
，






在和 中，


②，理由如下：



【小问2详解】
，理由如下：
过点作交于点







在和 中，

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，通过特殊图形的证明，找到一般规律，将一般图形转化为特殊图形证明是解题的关键．
31. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【答案】（1）全等（2）是直角三角形
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．
解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．