四川省成都市石室天府中学多校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省成都市石室天府中学多校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分 满分：150分）
A卷（共100分）
一、选择题（每小题4分，共32分，各题均有四个选项，只有一项符合题目要求）
1. 在下列各数：、、、、、中无理数的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，算式平方根和立方根，以及二次根式的化简，解题关键是掌握初中范围内涉及到的无理数的三种情况：①开方开不尽的数，如；②特定意义的数，如；③特定结构的数，如．先化简，再根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：是有限小数，是有理数；
是分数，是有理数；
是无理数；
是无理数；
是分数，是有理数；
是整数，是有理数，
即无理数的个数是2，
故选：B．
2. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质．由点A与点B对称，求得对称轴为直线，再根据点C与点D对称，即可求解．
【详解】解：∵和对称，
∴对称轴直线为：，
∵与点D关于对称，
∴，
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的乘法和除法，化简二次根式，根据二次根式的运算法则即可得出答案，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、 ，计算正确，故选项不符合题意；
D、 ，故选项不符合题意；
故选：C．
4. 要使有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得，且，
故选：C．
5. 估计的值在（ ）之间
A. 5和6B. 6和7C. 7和8D. 8和9
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的运算等知识点，先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案，解题的关键是找到哪两个相邻的有理数逼近无理数．
【详解】，
∵，
∴，
∴的值在7和8之间，
故选：C．
6. 如果点与点关于y轴对称，则m，n的值分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，二元一次方程组的解法，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于y轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得：，
故选：A．
7. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：C．
8. 关于一次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象与轴交于点
B. 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 图象与坐标轴围成三角形面积为
D. 图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：一次函数，，
当时，，当时，
A． 图象与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意；
B． 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故该选项不正确，不符合题意；
C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不正确，不符合题意；
D． 图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，符合题意；
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为，
故答案为：5．
10. 若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．根据平方根的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知∶，
解得∶，
故答案为：4．
11. 已知正比例函数，若y随x的增大而增大，则点在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，象限的坐标特征等知识点，据正比例函数图象的增减性可求出m的取值范围，继而由各象限内点的坐标的符号特点可得答案，熟知正比例函数y=kxk≠0中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小是解答此题的关键．
【详解】∵正比例函数中y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，
∴点在第四象限，
故答案为：四．
12. 已知平面直角坐标系中有点，过点A作直线轴，如果，且点B位于第三象限，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂直于轴点坐标的特征．熟练掌握垂直于轴的点坐标横坐标相同是解题的关键．
由轴，可知的横坐标相同，由，且点B位于第三象限，可得点纵坐标为，进而可得点B的坐标．
【详解】解：∵轴，
∴的横坐标相同，
∵，且点B位于第三象限，
∴点纵坐标为，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
13. 如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理等知识点，蚁从B到N有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可，熟练掌握蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短是解决此题的关键．
【详解】如图：，宽，高为6，
由已知，的长度即为所求，
∵中，，，
∴，
如图：
，
如图：
．
∵，
∴需要爬行的最短距离是，
故答案为：．
三、解答题（共48分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
14. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根解方程等知识点，
（1）先根据有理数的乘方，算术平方根，绝对值，立方根的定义计算，再合并即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可；
熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
，
∴．
15. 解答下列各题
（1）已知y与成正比例，当时，；①求y与x的函数关系式；②当时，求y的值．
（2）已知，，求的值；
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）①根据题意设，再利用待定系数法求出的值，即可得到函数关系式；②结合①所得关系式，将代入，即可求出y的值；
（2）先计算出，，再结合完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
解：①y与成正比例，
设，
当时，，
，
解得：，
y与x的函数关系式为；
②当时，；
【小问2详解】
解：，，
，，
．
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）见解析，4；
（2）（−4，3）； （3）（10，0）或（－6，0）．
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；
（3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标．
【小问1详解】
解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4−×1×2−×2×4−×2×3＝4，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，
∴点D的坐标为：（−4，3）；
故答案为：（−4，3）；
【小问3详解】
解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2−8＝－6，
故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，网格中三角形面积求法以及关于y轴对称的点的性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题关键．
17. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，
米，米，
米
米)．
答：处与地面的距离是米；
【小问2详解】
在中，
米，米)，
米
米)．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
【点睛】本题考查是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
18. 已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：
①线段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）
【答案】（1）①，2；②；（2）证明见试题解析；（3）或．
【解析】
【详解】试题分析：
（1）①由已知条件求出AB的长，再减去PA就可得PB的长；如图1，连接BQ，先证△APC≌△BQC，可得：BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，即可计算出PQ=，从而根据△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；
②由①中的证明可知：AP=BQ，△PBQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；
（2）如图2，连接PB，先证△APC≌△BQC，得到BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，由此可得△PBQ是直角三角形，从而可得：PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2，即（1）中所猜想结论仍然成立；
（3）如图3，分点P在点A、B之间和在点A、B的同侧两种情况讨论即可；
试题解析：
（1）如图①：
①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+，∠ACB=90°，
∴AB=，
∵PA=，
∴PB=AB-PA=.
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=．
∴PC=PQ=2．
故答案为，2；
②如图1，猜想PA2+PB2=PQ2，理由如下：
由①中证明可知：△APC≌△BQC，
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°，
又∵∠CBA=45°，
∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°，
∴BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（2）如图②：连接BQ，
∵△ABC和△PCQ均为以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，
∴△APC≌△BQC．
∴BQ=AP，∠CBQ=∠A=45°．
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°，
∴∠PBQ=90°，
∴在Rt△PBQ中，BQ2+PB2=PQ2，
∴PA2+PB2=PQ2.
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC可得：AD=BD=CD=AB；设AB=，则AD=BD=CD=，
①当点P位于点A、D之间的点P1处时．
∵，
∴P1A=AB=DC= ，
∴P1D=AD=，
在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= ，
∴；
②当点P位于点A和点B的同侧的点P2处时．
∵，
∴P2A=AB=AD=．
∴P2D=P2A+AD=，
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C=，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=，
∴；
综上所述，的比值为或．
点睛：（1）本题第1小题②问和第2小题的解题要点是一致的，就是连接BQ，利用等腰直角三角形的性质证得△APC≌△BQC，得到PA=QB，∠CBQ=∠CAP=45°，就可把PA、PB、BQ三条分散的线段集中到Rt△PBQ中，由勾股定理就可得到三条线段间的数量关系；（2）讨论本题第3小题时，需注意点P的位置存在两种情形，讨论时不要忽略了其中任何一种.
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 若x，y都是实数且，则xy的平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求出x的值，得到y的值，根据平方根的定义解答即可．
【详解】由题意得，2x−3≥0，3−2x≥0，
解得，x＝，
则y＝4，
xy＝6，
6的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件和平方根的定义，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
20. 若函数是关于x的一次函数，则____________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据一次函数自变量的次数为1，比例系数不为0求解即可．
【详解】解：函数是关于x的一次函数，
∴且，
解得，，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题关键是明确一次函数比例系数不为0这一限制条件．
21. 在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根等知识点，由数轴得，，，，进一步得出，，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
【详解】由数轴得，，，
∴，，
，
故答案为：．
22. 在平面直角坐标系xOy中，O0,0，，，，，若点P关于某直线l的对称点落在长方形内（不包含边界），则称点P是长方形的“l封闭点”；已知点，若点P是长方形的“l封闭点”，则直线l可以是______（填序号）①x轴；②y轴；③一三象限角平分线；④长方形的对称轴；若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则求点Q横坐标x的取值范围为______．
【答案】 ①. ②③④ ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，坐标与图形变化−轴对称等知识点，画出图形，根据“封闭点”的定义判断即可；分情况画出图形，根据“封闭点”的定义解答即可，理解和掌握新定义是解本题的关键．
【详解】（1）如图，
分别作出点关于①x轴的对称点；关于②y轴的对称点；关于③一三象限角平分线的对称点；关于④长方形的对称轴的对称点和，可知②③④符合题意．
故答案为：②③④，
（2）当点Q在y轴的左侧时，如图，过点Q作x轴的平行线，交y轴于点E，交于点F，则，
∵点Q是长方形的“y轴封闭点”，
∴，
当点Q在y轴的右侧时，如图，过点Q作x的平行线，交y轴于点E，交于点G，则，
∵点Q是长方形的“y轴封闭点”，
∴．
当点Q在y轴上时，点Q关于y轴的对称点是其本身，符合题意．
综上可知，若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则点Q横坐标的取值范围是，
故答案为：点Q横坐标x的取值范围为 ．
23. 如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则______，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则______．
【答案】 ①. 1 ②. ##
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
如图，过点作交于点，过点作交延长线于点，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
同理可证，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、解答题（共30分）
24. 阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知点，，试求、两点间的距离；
（2）已知点，且，求的值；
（3）求代数式的最小值．
【答案】（1）13 （2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可；
（2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可；
（3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值．
【小问1详解】
解：根据两点的距离公式得，；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵看成点到两点和的距离之和，
∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值，
∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题．
25. 对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题，

（1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，；
（2）当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______；
（3）结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．
①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式；
②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】（1）y轴，或；
（2）；
（3）①向左平移个单位长度；②．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象性质、解不等式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）结合图象可得，求解即可；
（2）分别求出当时，的函数值，在结合图象即可得出答案；
（3）①由再结合图象即可得出答案；
②由可得，的图象关于对称，点关于的对称点为再根据进而得出答案．
小问1详解】
解：由题意，结合图象可得，函数的图象关于y轴对称，
又令
，
或，
故答案为：y轴，或；
【小问2详解】
解：函数的图象如图：
当时，，
当时，，
当时，，
结合图象可知，当时，y的取值范围为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：
结合图象可得，若，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象；
∴的图象关于对称，
∴点关于的对称点为，
∵若点和都在函数的图象上，且
解得：．
26. 如图，点D是内一点，连接，，．
（1）如图1，当时，若，，，求的度数；
（2）如图2，以为斜边向上作等腰，连接，若，，求证：且；
（3）如图3，在第（2）问的结论下，点P为垂直平分线上一点，连接，，将绕点C顺时针旋转至，连接，，，若射线交直线于点Q，当取得最小值时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出，，进而得出结果；
（2）作，截取，连接，可证得，从而得出，，，从而，从而推出点E、D、F、C共圆，进而得出，A、D、F共线，进而证得，从而得出，，进一步得出结论；
（3）设交于F，作，截取，延长交于，连接，可证得，从而，进而得出点B和点重合，从而得出点在与成的的边上运动，当点Q在E点处时，最小，进一步计算得出结果．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图1，
作，截取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴点E、D、F、C共圆，
∴，，
∴，，
∴A、D、F共线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图2，
设交于F，作，截取，延长交于，连接，
∴，是等边三角形，
∴，，，
∵绕点C顺时针旋转至，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点和点B重合，
∴点在与成的边上运动，
∴当点Q在E点处时，最小，
如图3，
在中，，，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
如图4，
不妨设，则，作于X，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．