7.3空间点、直线、平面之间的位置关系　专项训练——2025届高三数学一轮复习夯实 优化提升

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【习题导入】
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
2．(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是( )
A．BM与ED平行
B．CN与BM成60°角
C．CN与BE是异面直线
D．DM与BN是异面直线
3. 如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
【知识归纳】
1．基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 ．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( 直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；, 直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点.))
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围： .
常用结论：
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
【题型展示】
题型一 基本事实的应用
例1 如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过( )
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
跟踪训练1 (1)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
题型二 空间位置关系的判断
命题点1 空间位置关系的判断
例2 (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
(2)(多选)下列推断中，正确的是( )
A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
命题点2 异面直线所成的角
例3 (1)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为BB1上一点，平面AEC1将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B1C1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,3)
(2)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(3\r(35),35) B.eq \f(4\r(35),35) C.eq \f(3\r(7),14) D.eq \f(2\r(7),7)
跟踪训练2 (1)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq \f(1,4)SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(22),2) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(13,16) D.eq \f(\r(11),3)
(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,3)
题型三 空间几何体的切割(截面)问题
例4 (1)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D1为球心，eq \r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
(2)(多选)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是( )
A．这两部分的表面积一定不相等
B．截面不会是三角形
C．截面不会是五边形
D．截面可以是正六边形
跟踪训练3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．
(2)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
基础夯实
1．若直线上有两个点在平面外，则( )
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
2.给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系( )
A．两两垂直 B．两两平行
C．两两相交 D．两两异面
4．在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则( )
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
B．AE≠CF，AC与EF是共面直线
C．AE＝CF，AC与EF是异面直线
D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
5.如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E，F 分别是棱AD，BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( )
A．3eq \r(2) B．4
C．4eq \r(2) D．6
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
7.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c
8.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为( )
A.eq \f(2\r(21),3) B.eq \f(4\r(21),3) C.eq \f(2\r(7),3) D.eq \f(4\r(7),3)
9．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．空间四点共面，则其中必有三点共线
B．空间四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间四点中有三点共线，则此四点不共面
D．空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
10.(多选)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( )
11.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面
12.(多选)如图，已知二面角A－BD－C的大小为eq \f(π,3)，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是( )
A.E，F，G，H四点共面
B.FG∥平面ADC
C.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D.若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
13.如图为四棱锥A－DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是线段DF的中点，请写出四棱锥A－DEFG中一对一定相互垂直的异面直线________．(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)
14. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为________．
15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
16.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cs θ＝________.
17.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.
18.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
19.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
20. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
21. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
优化提升
22. 如图，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB＝6，则过A，E，F三点的截面的面积为( )
A．9eq \r(2)
B．18eq \r(2)
C.eq \f(21\r(17),2)
D.eq \f(27\r(17),2)
23.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3\r(3),4) C.1 D.2
24．(多选)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝eq \r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq \r(5)，则( )
A．AB⊥CD
B．三棱锥A－BCD的体积为eq \f(2,3)
C．三棱锥A－BCD外接球半径为eq \r(6)
D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为eq \f(3,5)
25．如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且eq \f(AE,ED)＝eq \f(BF,FC)＝eq \f(1,2)，EF＝eq \r(7)，则AB与CD所成角的大小为________．
26．已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2eq \r(3)，AC＝2，BC＝4，则：
(1)球O的表面积为________；
(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是________．
27．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则平面α与该直三棱柱所得截面的周长为 ________.
28.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq \r(3)，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________.
29.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值.
30. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C 2.BD
3．(1)AC＝BD
(2)AC＝BD且AC⊥BD
【知识归纳】
1．不在一条直线上 两个点 一条
平行
2．相交 平行
3．相交 平行 任何
4．a∩α＝A 1 a∥α 0 a⊂α 无数
α∥β 0 α∩β＝l 无数
5．相等或互补
6．(2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
【题型展示】
例1 D
跟踪训练1 (1)证明 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
(2)①证明 由题设知，因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GH∥AD且GH＝eq \f(1,2)AD，
又BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD，
故GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
②解 C，D，F，E四点共面．
理由如下：
由BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.
由①知BG∥CH，所以EF∥CH.
故EC，FH共面．
又点D在直线FH上，
所以C，D，F，E四点共面．
例2 (1)D (2)ABD
例3 (1)A
(2)C
跟踪训练2 (1)D
(2)CD
(3)A
例4 (1)eq \f(\r(2)π,2)
(2)BCD
跟踪训练3 (1)eq \f(9,2)
(2)ABD
基础夯实
1．D
2.B
3.B
4.D
5．B
6．D
7.C
8.A
9.ACD
10.BD
11.ABC
12.ACD
13．AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)
14．8eq \r(6)
15.4
16.eq \f(\r(3),6)
17.eq \f(9,2)
18.(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綉eq \f(1,2)AD.又BC綉eq \f(1,2)AD，
∴GH綉BC.
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 共面.∵BE綉eq \f(1,2)AF，G是FA的中点，
∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
19.解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积
V＝eq \f(1,3)×4×2＝eq \f(8,3).
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝eq \r(2)，EM＝eq \r(3)，MD＝eq \r(5)，
∵(eq \r(2))2＋(eq \r(3))2＝(eq \r(5))2，
即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝eq \f(DE,EM)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3).
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为eq \f(\r(6),3).
20．证明 (1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝eq \f(1,2)，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC.
同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线．
21．解 (1)S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)
＝2eq \r(3)，
三棱锥P－ABC的体积V＝eq \f(1,3)S△ABC·PA＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×2＝eq \f(4\r(3),3).
(2)如图，取PB的中点E，
连接DE，AE，
则ED∥BC，
所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．
在△ADE中，DE＝2，AE＝eq \r(2)，AD＝2，
cs∠ADE＝eq \f(AD2＋DE2－AE2,2·AD·DE)＝eq \f(22＋22－2,2×2×2)＝eq \f(3,4).
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq \f(3,4).
优化提升
22．C
23.B
24．ABD
25．60°
26．(1)52π (2)4π
27．3eq \r(2)＋eq \r(6)
28.2π
29.解 (1)∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，
∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2eq \r(3)，
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq \f(1,3)×42×2eq \r(3)＝eq \f(32\r(3),3).
(2)∵AD∥BC，
∴∠PCB即PC与AD所成的角.
如图，连接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC⊂平面ABCD，
∴PE⊥EF，PE⊥BC，
又PF与平面ABCD所成角为45°，
即∠PFE＝45°，
∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4，
∴PB＝eq \r(PE2＋BE2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，
∴tan ∠PCB＝eq \f(PB,BC)＝eq \f(\r(5),2)，
∴PC与AD所成角的正切值为eq \f(\r(5),2).
30．解 (1)存在．当G为PA的中点时满足条件．
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，
所以GE∥DC，
所以G，E，C，D四点共面．
(2)因为E是PB的中点，
所以VP－ACE＝VB－ACE＝eq \f(1,2)VP－ACB.
因为AD⊥DC，AB∥DC，
所以AC＝eq \r(2)，CB＝eq \r(2)，
故由题易知AC⊥BC，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC
＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1，
VP－ACB＝eq \f(1,3)PC·S△ABC＝eq \f(2,3)，
所以VP－ACE＝eq \f(1,3).
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
个
平行
个
在平面内
个
平面与平面
平行
个
相交
个