荆州市沙市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份荆州市沙市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．在空间直角坐标系中,已知点,,则线段的中点坐标是( )
A.B.C.D.
3．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只,从兔窝中每次摸取1只,有放回地摸取3次,则3次摸取的颜色不全相同的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知直线l的方程为,则过点且与l垂直的直线方程为( )
A.B.C.D.
5．空间四边形OABC中,,,,点M,N分别为OA,BC中点,则等于( )
A.B.
C.D.
6．已知点,点在直线上,则的最小值是( )
A.B.C.D.
7．已知圆C的圆心在直线上,并且圆C经过圆与圆的交点,则圆C的圆心是( )
A.B.C.D.
8．如图,在棱长为2的正方体中,点E为BC的中点,点P在线段上,则面积的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．事件A,B的概率分别为:,,则( )
A.若A,B为互斥事件,
B.
C若A,B相互独立,
D.若,则A,B相互独立
10．已知实数x,y满足方程,则下列说法不正确的是( )
A.的最大值为B.的最大值为
C.的最大值为D.的最大值为
11．已知空间四面体OABC,则( )
A.当,则点P在平面ABC内
B.若该四面体的棱长都为a,则异面直线OA,BC间的距离为
C.若M为AB中点,则直线OC上存在点N,使得
D.若,,则
三、填空题
12．已知,,则__________.
13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_________.
14．过直线上任意一点P作圆的两条切线,则切点分别是A,B,则面积的最大值为____________.
四、解答题
15．已知点P是平行四边形所在平面外一点,如果,,.（1）求证:是平面的法向量;
（2）求平行四边形的面积.
16．已知点、、,点D是线段的中点,,垂足为E.
（1）求直线的方程;
（2）求点E的坐标;
（3）求的面积.
17．某市为传播中华文化,举办中华文化知识选拔大赛.决赛阶段进行线上答题.题型分为选择题和填空题两种,每次答题相互独立.选择题答对得5分,否则得0分;填空题答对得4分,否则得0分,将得分逐题累加.
（1）若小明直接做3道选择题,他做对这3道选择题的概率依次为,,.求他得分不低于10分的概率;
（2）规定每人最多答3题,若得分高于7分,则通过决赛,立即停止答题,否则继续答题,直到答完3题为止.已知小红做对每道选择题的概率均为,做对每道填空题的概率均为.小红依次做一道选择题两道填空题,求小红通过考试的概率.
18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,边长是,侧棱底面,,E是的中点,作交于点F.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面;
（3）求平面与平面的夹角的大小.
19．已知圆内有一点,倾斜角为的直线l过点且与圆O交于A,B两点.
（1）当时,求AB的长;
（2）是否存在弦AB被点三等分?若存在,求出直线l的斜率;若不存在,请说明理由;
（3）记圆O与x轴的正半轴交点为M,直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.并计算出定值.
参考答案
1．答案：B
解析：由直线方程为,即斜率为,
若倾斜角为,则,故.
故选:B
2．答案：B
解析：依题意,点,,则线段的中点坐标是.
故选:B
3．答案：B
解析：由题意可知:每次摸到白、灰、黑三种颜色的概率均为,
记“3次摸取的颜色不全相同”为事件A,则,
所以.
故选:B.
4．答案：B
解析：直线l的方程为,则,
根据两直线垂直知所求直线斜率为,
又直线过点,所以与直线l垂直的线方程为,即.
故选:B.
5．答案：B
解析：为BC中点,,
为OA的中点,,
.
故选:B
6．答案：B
解析：由题意可知点到直线的距离,即为的最小值,
所以的最小值为,
故选:B.
7．答案：D
解析：设圆与圆的交点为A,B
联立两圆方程,得,解得,或
不妨记,,
于是的中点为,
从而可得AB的垂直平分线方程为,即,
联立与,得,解得,
即圆心坐标为.
故选:D
8．答案：B
解析：因为,点P到直线的距离最小时面积取得最小值,
而点P在线段上,直线与互为异面直线,
因此点P到直线距离的最小值等于异面直线与的距离.
下面用向量法求异面直线与的距离:
以D为原点,,,分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,
,,,
设异面直线与公垂线的方向向量为,则,
即,得,
令,则,即,
于是异面直线与的距离为,
又,
所以面积的最小值为.
故选:B
9．答案：AD
解析：选项A:若A,B为互斥事件,则,
所以,故A正确;
选项B:,故B错误;
选项C:若A,B相互独立,
所以,故C错误;
选项D:因为,
所以,则A,B相互独立,故D正确;
故选:AD.
10．答案：CD
解析：由题意知方程即表示圆,圆心为,半径为,
对于A,设,则只需直线与圆有公共点,
则,解得,
即的最大值为,A正确;
对于B,设,其几何意义为圆上的点到原点的距离,
而上的点到原点距离的最大值为,
即t的最大值为,故的最大值为,B正确;
对于C,设,则,则直线和圆有公共点,
则,解得,即的最大值为,C错误;
对于D,设,则直线与圆有公共点,
则,解得,
即的最大值为,D错误;
故选:CD
11．答案：ABD
解析：对于A:若,且,
所以P,A,B,C四点共面,即点P在平面ABC内,故A正确;
对于B:若该四面体的棱长都为a,可知四面体OABC为正四面体,
将其嵌套在正方体内,如图所示:可知正方体的棱长为,异面直线OA,BC间的距离即为正方体的棱长,故B正确;
对于C:因点N在直线OC上,
若点N与点O重合,则,不满足;
若点N与点O不重合,则平面OBC,平面,,
可知为异面直线,不满足;
综上所述:直线OC上不存在点N,使得,故C错误;
对于D:若,,
则即
,即
,
可得,
所以,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：.
解析：,即可.
13．答案：
解析：从甲、乙等5名同学中随机选3名，有种情况，其中甲、乙都入选有种情况，所以甲、乙都入选的概率.
14．答案：
解析：如图,设点,因,,故点A,B在以为直径的圆C上,
因圆心,半径为,故圆C的方程为：,
又圆,将两式左右分别相减,整理得直线的方程为：,
于是,点到直线的距离为,,
故的面积为：,
不妨设,则,且,故,
因在上单调递增,故,此时,
即时,点时,面积的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）,
.
,,又,平面,
是平面的法向量.
（2）,,
,
,
故,.
16．答案：（1）
（2）
（3）5
解析：（1）因为、,所以的中点D为,
所以直线的方程为,即.
（2）由（1）知,因为,所以,
所以直线方程为,即.
联立,解得,所以点E的坐标为.
（3）因为,,
所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）记“他得分不低于10分”为事件A,
则
,
即得分不低于10分的概率;
（2）记“小红通过考试”为事件B,
则,
即小红通过考试的概率为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）连接,设,连接,
则H为中点,
又是的中点,
,
又平面,平面,
平面;
（2）底面,底面,
,
又是正方形,
,
又,平面,且,
平面,
平面,
,
,
,
,平面,,
平面,
平面,
,
,且,,平面,
平面;
（3）由（2）得平面,则平面,
所以可以点D为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
即,,,
设平面法向量,
则,令,则,
设平面的法向量,
则,令,则,
所以,
即平面与平面夹角余弦值为,
所以平面与平面夹角为.
19．答案：（1）
（2）存在,
（3）证明见解析,
解析：（1）因为,所以,直线l的方程为,
圆的圆心为,半径,
设圆心到直线的距离为d,则,
所以;
（2）取的中点为Q,如图,
假设存在弦被点三等分,设,,则,
,解得,
当l斜率不存在时,,故l斜率存在,
设l斜率为k,则,
,解得,
即存在弦被点三等分,直线l的斜率为;
（3）由题意知,,
当直线l斜率不存在时,,,
不妨取,
则,此时;
直线l斜率存在时,设方程为,
代入圆的方程可得,
设,,则,,
又,,
所以,
综上,为定值.