湖南省部分名校2025届高三上学期第四次联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省部分名校2025届高三上学期第四次联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,则( ).
A.B.C.D.
2．( ).
A.B.C.D.
3．已知向量,满足,,且,则( ).
A.B.1C.2D.D.3
4．已知正四棱锥的顶点都在球上,且棱锥的高和球的半径均为,则正四棱锥的体积为( ).
A.B.C.D.
5．已知函数,则的解集为( ).
A.B.
C.D.
6．已知函数,其中,,若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线,则的值是( ).
A.B.C.D.
7．设双曲线的左、右焦点分别为,,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,,的面积为,且为钝角,,则双曲线C的方程为( ).
A.B.C.D.
8．已知函数,若方程恰有5个不同的解,则实数a的取值范围是( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设等差数列的前n项和为,公差为d,已知,.则( ).
A.B.
C.时,n的最小值为11D.最小时,
10．如图,在直三棱柱中,,,E,F,G,H分别为,,,的中点,则下列说法正确的是( ).
A.B.,,三线不共点
C.与平面所成角为D.设,则多面体的体积为1
11．已知抛物线和的焦点分别为，，动直线l与交于，两点，与交于，两点，其中，，且当l过点时，，则下列说法中正确的是( )
A.的方程为
B.已知点，则的最小值为
C.
D.若，则与的面积相等
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程为__________.
13．已知数列的通项公式为,则__________.
14．将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数,按从左到右的顺序排成一排,则能构成__________个自然数,在所有构成的自然数中,第一位数为1的所有自然数之和为__________.
四、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A;
（2）若,,,求.
16．已知函数.
（1）证明:;
（2）设函数,证明:函数有唯一的极值点.
17．如图,在直角梯形中,,,,点E是的中点,将沿对折至,使得,点F是的中点.
（1）求证:;
（2）求二面角的正弦值.
18．电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注,目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好,在社会上随机调查了500名市民,其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占,得到以下的2－2列联表:
（1）根据以上数据,完成列联表,依据小概率的独立性检验,能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关;
（2）采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人,再从这7名市民中抽取2人进行座谈,求在有女性市民参加座谈的条件下,恰有一名女性市民参加座谈的概率;
（3）用频率估计概率,在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样,随机抽取5名市民,再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈,记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为X,求X的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张纸片,按如下步骤折纸:
步骤1:在纸上画一个圆A,并在圆外取一定点B;
步骤2:把纸片折叠,使得点B折叠后与圆A上某一点重合;
步骤.3:把纸片展开,并得到一条折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3,得到越来越多的折痕.
你会发现,当折痕足够密时,这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.
若取一张足够大的纸,画一个半径为2的圆A,并在圆外取一定点B,,按照上述方法折纸,点B折叠后与圆A上的点W重合,折痕与直线交于点E,E的轨迹为曲线T.
（1）以所在直线为x轴建立适当的坐标系,求曲线T的方程;
（2）设曲线T的左、右顶点分别为E,H,点P在曲线T上,过点P作曲线T的切线l与圆交于M,N两点（点M在点N的左侧）,记,的斜率分别为,,证明:为定值;
（3）F是T的右焦点,若直线n过点F,与曲线T交于C,D两点,是否存在x轴上的点,使得直线n绕点F无论怎么转动,都有成立?若存在,求出T的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为全集,集合,
所以,故选B.
2．答案：D
解析：.故选D.
3．答案：D
解析：因为,,所以,
因为,所以,从而.故选D.
4．答案：B
解析：因为棱锥的高和球的半径均为,
所以正四棱锥的底面边长,
故四棱锥的体积为.故选B.
5．答案：A
解析：函数的定义域为R,
又,所以为奇函数.
又,在定义域R上单调递增,所以在R上单调递增,
所以,
即,解得,故选A.
6．答案：C
解析：对于函数,易知的图象关于点对称,
设T为的最小正周期,则,即,从而,
当时,,,
结合可得,故选C.
7．答案：B
解析：则由双曲线定义可知,,
所以,,,
所以,
解得,
因为为钝角,所以,所以,
由余弦定理可知,
所以,,
所以双曲线方程为,故选B.
8．答案：B
解析：函数的定义域为,
若时,由求导得,,
故当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,且,
当时,;当时,;
若时,由求导得,,
因为,故恒有,即在上单调递增,
且当时,,当时,,即当时,恒有.
作出函数的大致图象如图所示.
又由可得或,
由图知有两个根,此时方程有2个不同的解;
要使方程恰有5个不同的解,
需使有3个零点,由图知,需使,
即,解得.
综上所述,实数a的取值范围是.故选B.
9．答案：BC
解析：由,则,
又,则,故A错误;
,故B正确;
,又,所以时,n的最小值为11,故C正确;
当时,,当时,,所以当最小时,,故D错误.故选BC.
10．答案：AC
解析：对于A,连接,,由G,E分别为,的中点,可得,
由可知,侧面为菱形,所以,所以,故A正确;
对于B,如图,连接,,由题易知,延长,相交于点P,
因为,平面,所以平面,
因为,平面,所以平面,
因为平面平面,所以,
所以,,三线共点,故B错误;
对于C,作于点M,因为,,,平面,平面,所以平面,
因为平面,所以,
又,所以,
又,平面,平面,所以平面.
而,所以为与平面所成的角,等于,故C正确;
对于D,过点H作交于点D,过点D作,连接,
易知直三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形,
柱高,则,
四棱锥的底面是边长为1的正方形,锥高,
则,则多面体的体积为.故D错误,故选AC.
11．答案：BCD
解析：当l过点时，设，联立，可得，
，
故，解得，则，，故A错误；
过点M，A向的准线引垂线，垂足分别为B，C，
点A到的准线的距离，
由抛物线定义可知，
等号成立当且仅当点M为与抛物线的交点，故B正确；
设，由，可得，
，，，
由，可得，
，，，
故，同理可得，故C正确；
，故，
注意到，可得，
所以，从而与的面积相等，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为,则,
所以切点为,且,则,
由直线的点斜式可得,化简可得,
所以切线方程为.
13．答案：
解析：由题意可得,,...,
故
.
14．答案：60;3333330
解析：因为要构成自然数,所以第一位教只能是1和2,故共有个自然数.
第一位数为1共有30个自然数,第一位数排1,第二位排0,有种排法;
第一位数排1,第二位排1,有种排法;
第一位数排1,第二位排2,有种排法;
第一位数排1,第三位排0,有种排法;
第一位数排1,第三位排1,有种排法;
第一位数排1,第三位排2,有种排法,
以此类推:第一位数排1,第六位排0,有种排法;
第一位数排1,第六位排1,有种排法;
第一位数排1,第六位排2,有种排法,
所以,所有第一位数为1的自然数之和为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由及正弦定理得,
整理得,
又由余弦定理的推论得,,解得.
（2）由,,得,
即,可得,
由余弦定理可得,
,.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:因为,定义域为,
所以,
由于函数,在上均为单调递增函数,
所以在上单调递增,
因为,所以,,,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值,也是最小值,所以.
（2）因为,的定义域为,
所以.
设,则,
当时,,所以单调递增,所以,
所以,即,
所以.
又,且在上单调递增,
所以存在唯一的,使得,即,
当时,,单调递减;
当时,,所以单调递增,
所以函数有唯一的极值点.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,,点E是的中点,
所以,,所以四边形是平行四边形,
又,,所以四边形是正方形,
所以,且,
所以,且,即,
因为,,平面,所以平面.
因为平面,所以.
因为F是的中点,,所以.
因为,,平面.
所以平面.
因为平面,所以.
（2）由（1）知,平面,因为平面,所以.
因为,.
所以.
又,
由余弦定理得,
因为,所以,
所以,
以D为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,作平面为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,.
因为F是的中点,所以.
所以,,,
易证平面,所以为平面的法向量,
设平面的一个法向量为,
则,所以,
取,则,,所以,
所以,
设二面角的平面角为,
所以,
所以二面角的正弦值为.
18．答案：（1）市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关.
（2）
（3）
解析：（1）被调查的女性市民人数为,
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为.
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为,
所以列联表为:
零假设:市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关,
根据列联表中的数据可以求得
,
由于,
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关.
（2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中,男性市民与女性市民的比为,
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中,男性市民有5人,女性市民有2人,
设“有女性市民参加座谈”为事件A,“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B,
则,,
所以.
（3）因为所有参加调查的市民中,男性市民和女性市民的比为,
所以由分层抽样知,随机抽取的5名市民中,男性市民有3人,女性市民有2人.
根据频率估计概率知,男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为,偏好铅酸电池电动车的概率为,
从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈,则X可能的取值为0,1,2.
“3名被抽取的男性市民中,恰好抽到k人参加座谈”记为事件,
则.
“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件,
则,,
,,
,,
所以
,
,
,
故X的分布列如下:
.
19．答案：（1）
（2）3
（3）见解析
解析：（1）以所在直线为x铀,以为x轴的正方向,以的中点为原点建立平面直角坐标系,
则,,
由折纸方法知,,则,
根据双曲线的定义,曲线T是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线,
设其方程为,则,,
所以,.故曲线T的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,且,,
联立方程组,整理得,
由,可得,可得,
联立方程组,整理得,
,
则,,
因为,,所以,
又因为,
代入可得,由于,则,
由于点M在点N的左侧,故,
所以,
代入可得,
又因为,则,
所以为定值,定值为3.
（3）假设存在点,使恒成立,
由已知得,
当直线n的斜率存在时,设直线n的方程为,,,
联立,得,
,且,
则,,
,,
则
,
若恒成立,则恒成立,
即,解得,
当直线n的斜率不存在时,直线n的方程为,
此时,解得,
不妨取,,
则,,
又,解得或,
综上所述,,
所以存在点,使恒成立.
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性市民
200
100
女性市民
合计
500
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性市民
200
100
300
女性市民
80
120
200
合计
280
220
500
X
0
1
2
P