专题30 快速掌握二项式定理基本题型 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
知识点3、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【典型例题】
例1．（北京市东城区2023-2024学年高三学期综合练习（一）（一模）数学试题）已知，若，则的取值可以为（ ）
A．2B．1C．D．
例2．（2024届北京市延庆区高考一模数学试题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．
C．D．
例3．（云南省昆明市2024届”三诊一模“高三复习教学质量检测数学试题）在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．16B．19C．21D．24
例4．（山东省菏泽第一中学八一路校区2023-2024学年高三学期三月份月考数学试题）的展开式中的系数是，则实数的值为
（ ）
A．B．C．D．
例5．（广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷）已知，则的值是（ ）
A．680B．C．1360D．
例6．（海南省海南华侨中学2023-2024学年高三学期第二次模拟考试数学试题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例7．（重庆市南开中学校2023-2024学年高三学期第七次质量检测数学试题）已知展开式中项的系数为，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
例8．的展开式中的系数为（ ）
A．55B．C．30D．
例9．（河南省TOP二十名校2023-2024学年高三学期质检二数学试题）在的展开式中，的系数为 .（填数字）
例10．（四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷理科数学试题）二项式的展开式中，含项的系数为，则 ．
例11．（湖南省衡阳市田家炳实验中学2023-2024学年高三学期3月测试数学试题）二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则它的展开式中常数项为 （用数字作答）
例12．（湖南省长沙市第一中学2024届高三学期月考（七）数学试题）的展开式中的系数为 ．
例13．（2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试题）的展开式中的系数为 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（北京市怀柔区第一中学2024届高三学期零模数学试卷）在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．D．
2．（四川省遂宁市2024届高三第二次诊断性考试数学试题）的展开式中的系数为（ ）
A．80B．40C．10D．
3．（河南省TOP二十名校2024届高三学期质检一数学试题）的展开式中常数项为（ ）
A．28B．56C．70D．76
4．（福建省漳州市部分学校2024届高三学期普通高考模拟测试数学试题）的展开式中的系数为（ ）
A．48B．30C．60D．120
5．（内蒙古自治区包头市2024届高三一模数学试题）已知的二项展开式中第六项的系数为，则实数等于（ ）
A．B．C．D．1
6．（浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题）在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A．B．64C．D．32
7．（北京市北师大附属实验中学2024届高三学期3月零模数学试题）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．20C．D．40
8．（江苏省苏锡常镇2024届高三学期教学情况调研（一）数学试卷）设，则（ ）
A．B．C．D．
9．（北京第五中学2023-2024学年高三学期开学检测数学试卷）已知，则（ ）
A．B．2C．4D．12
10．（2024届辽宁省高三二模数学试题）展开式中的系数为（ ）
A．15B．20C．75D．100
二、填空题
11．（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（四））在的展开式中，若的系数为，则 ．
12．（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（五））展开式中项的系数为 ．
13．（天津市部分区2023-2024学年高三学期质量调查数学试卷（一））在的展开式中，的系数为 .（结果用数字表示）
14．（河北省多校联考2024届高三学期适应性测试数学试题）的展开式中常数项为 ．
15．（吉林省延边部分学校2024年普通高校招生考试模拟卷（一）数学试题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
16．的展开式中的系数为 .
17．若二项式的展开式的所有项的二项式系数之和为32，所有项的系数之和为，则展开式中的系数为 .
18．（2024届安徽省示范高中皖北协作区高三学期数学联考试题）的展开式中的系数是 ．
19．展开式中的系数为，则的值为 ．
20．（山西省部分学校2024届高三学期3月月考数学试题）展开式的常数项为 ．
21．（上海市浦东新区2024届高三学期期中教学质量检测数学试卷）的二项展开式中项的系数为 .（用数值回答）
22．（湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题）在的展开式中，的系数为 .
23．（江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题）的展开式中的系数是 .
24．（云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷（七）数学试卷）已知多项式，则 .
25．（安徽省黄山市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题）的展开式中的系数为 ．
26．（2024届天津市河东区高考一模数学试卷）在的二项展开式中，常数项是 ．（用数字作答）
27．（天津市红桥区2024届高三一模数学试题）已知二项式，则其展开式中含的项的系数为 ．
28．（贵州省毕节市2024届高三第二次诊断性考试数学试题）的展开式中，常数项为 （用数字作答）.
29．（四川省绵阳市南山中学实验学校2024届高三学期3月月考数学试题）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
30．（山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三学期开学考试数学试题）已知展开式中常数项为280，则 .