专题11 玩转指对幂比较大小 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
【典型例题】
例1．（2024·天津河东·一模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
故,
故选：A
例2．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵指数函数在上单调递增，
且，
∴，即.
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，即，
∴.
故选：A.
例3．（2024·四川宜宾·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
又，且，
所以，即，
所以.
故选：A.
例4．（2024·陕西西安·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在单调递增，所以.
因为是R上的单调递减函数，所以.
因为是R上的单调递增函数，所以.
所以.
故选：C
例5．（2024·广西来宾·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，则，
又，，
所以，
故选：A.
例6．（2024·四川宜宾·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，且，即；
；；
所以.
故选：A.
例7．（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A．b>c>aB．C．D．
【答案】B
【解析】又已知，，
得，，，
则，
又，
综上所述，，
故选：B.
例8．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设则
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
例9．（2024·甘肃·模拟预测）三个数，，的大小顺序是（ ）
A．>> B．>>
C．>>D．>>
【答案】C
【解析】由函数在上单调递增，则
又由于在上单调递减，则
故
故选：C
例10．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，又，因为，单调递增，所以.
故选：C
例11．（2024·高三·辽宁·期末）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，所以．
故选：A
例12．（2024·高三·新疆省直辖县级单位·阶段练习）设，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜a
C．a＜c＜bD．b＜c＜a
【答案】B
【解析】，，；
.
故选：B.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高二·福建福州·期中）设，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
令，，
则，
令，，
，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以.
故选：A
2．（2024·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
，
所以.
故选：C.
3．（2024·高三·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列各式大小比较中，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，∴，即，选项A错误；
，则，得，故选项B错误；
，选项C错误；
，，∴，选项D正确.
故选：D
4．（2024·天津武清·模拟预测）设，，，则三者的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由对数函数的性质可知， ，
由对数换底公式得： ，
由对数函数的性质可知 ，∴ ，
由以上判断得： ；
故选：A.
5．（2024·天津红桥·一模）设，，，则三者的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，
故选：B.
6．（2024·高三·全国·阶段练习）已知，，.则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又，，
所以.
故选：D
7．（2024·高一·浙江嘉兴·期中）这三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
故选：C.
8．（2024·北京东城·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，故AD错误；
当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，因为，所以且，
则，
所以，故C正确.
故选：C.
9．（2024·北京延庆·一模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，且，
又，函数在单调递增，
则，所以.
故选：D
10．（2024·天津南开·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由指数函数与对数函数的性质可得，，，，
所以，
故选：A.
11．（2024·陕西西安·三模）已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，，
函数是偶函数，当时，是增函数，而，
所以，即.
故选：A
12．（2024·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
，，
因为在上单调递增，
所以，所以.
故选：B.
二、多选题
13．（2024·广西柳州·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为在上单调递增，，
所以，即，故A正确；
对于B，取，满足，但，故B错误；
对于C，因为，所以，则，故C正确；
对于D，取，此时，故D错误.
故选：AC.
14．（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对A，则，即，，解得，故A错误；
对B，则，故，解得，故B正确；
对C，则，解得，故C正确；
对D，，则，解得，故D错误.
故选：BC
15．（2024·高三·江苏苏州·期末）已知，则是“”的充分不必要条件有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A，取，此时有，故A不符合题意；
对于B，由对数函数单调性可知，故B符合题意；
对于C，，故C不符合题意；
对于D，，故D符合题意.
故选：BD.
16．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】对于选项A，等价，，得，
其中，等号取不到，所以，，不等式成立，选项A正确；
对于选项B，因为，指数函数是增函数，且，所以
所以，选项B正确；
对于选项C，，
由于，，等号取不到，，选项C不正确；
对于选项D，，由于，等号取不到，
所以，，选项D不正确；
故选：AB.
17．（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，C正确；
又因为在上单调递增，所以，A正确；
不妨取，则，B错误；
因为，所以，
又在R上单调递增，所以，D错误.
故选：AC.
18．（2024·河北邢台·模拟预测）已知实数，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以，故A错误；
又，所以，故B正确；
因为，所以，故C对；
因为，又，所以，故D对.
故选：BCD