浙江省宁波市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考（期中）数学试卷（解析版）-A4

这是一份浙江省宁波市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考（期中）数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了求下列事件的概率等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 三角形任意两边之和大于第三边B. 过马路时恰好遇到红灯
C. 明天太阳从西边出来D. 抛掷一枚硬币，正面朝上
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握事件的分类成为解题的关键．
根据必然事件、随机事件、不可能事件的概念逐项判断即可．
【详解】解：A．三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，符合题意；
B．过马路时恰好遇到红灯随机事件，不符合题意；
C． 明天太阳从西边出来是不可能事件，不符合题意；
D． 抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
故选：A．
2. 若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可．
【详解】解：由可知：，
∴；
故选B．
3. 圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A. 点A在圆上B. 点A在圆内C. 点A在圆外D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
4. 两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵相似三角形的相似比是，
∴面积比为，
故选：C．
5. 将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换与平移，根据抛物线绕它的顶点旋转后，开口方向与原方向相反，再根据抛物线的开口方向与a的正负有关，使旋转后的抛物线的开口方向相反，取a的相反数， 再结合“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，
将抛物线绕顶点旋转，则抛物线变成，
再将抛物线再向上平移2个单位，则抛物线变成，
故选：A．
6. 抛物线 （m为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质 ．
根据二次函数的性质得到抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线x=-1，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大，依次计算出点到对称轴的距离进行比较，即可得到答案 ．
【详解】解：∵抛物线（为常数）的开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数的值越大，
∵，
，
∴；
故选： D．
7. 如图,若果∠1＝∠2，那么添加下列任何一个条件：（1），（2），（3）∠B＝∠D，（4）∠C＝∠AED， 其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
详解】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，
∴（1）当添加条件“”时，可由“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
（2）当添加条件“”时，不能证明：△ABC∽△ADE；
（3）当添加条件“∠B＝∠D”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
（4）当添加条件“∠C＝∠AED”时，可由“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得：△ABC∽△ADE；
综上所述，添加上述条件中的1个后，能证明△ABC∽△ADE的共有3个.
故选C.
8. 如图，的直径垂直弦于E，且，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
如图：连接，先计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理即可求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D．
9. 如图，为等边三角形，点，分别在边，AB上，，若，，则AD的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
①抛物线与x轴有两个交点可判断①正确；②由二次函数图象知，，，，所以，可判断②错误；③对称轴为直线，得，所以，，可判断③错误；④对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，则抛物线与x轴另一个交点，当时，，可判断④正确．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，所以①正确；
②由二次函数图象可知，对称轴为直线，，，
∴，
∴，故②错误；
③∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，，
∴，故③错误；
④∵对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，
∴抛物线与x轴另一个交点，
当时，，故④正确．
故选C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 一个五边形的内角和的度数为 ________．
【答案】540
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为计算即可．
【详解】解：五边形的内角和为．
故答案为：540
12. 一个路口的交通信号灯按红、绿、黄三种颜色顺序循环切换，其中红灯、绿灯、黄灯每次持续时间分别为60秒，57秒，3秒，则经过这个路口时刚好是红灯的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了概率公式的应用，根据红灯、绿灯、黄灯每次持续时间分别为60秒，57秒，3秒可求得一次循环亮灯的总时间，再根据概率公式即可求得．
【详解】解：经过这个路口时刚好是红灯的概率是：，
故答案为：．
13. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质， 根据二次函数的顶点坐标为：求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
14. 如图，在中，半径，互相垂直，点C在劣弧AB上，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键；由圆周角定理可得，由三角形内角和定理即可得到的度数．
【详解】解：半径，互相垂直，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，E为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，且D为AE的黄金分割点，BE交DC于点F，若，且，则CF的长为________．

【答案】2
【解析】
【分析】先证明△ABE和△DFE相似，根据相似三角形对应边成比例及黄金分割点的条件求出的值，然后求出的值，即可求出CF的长度．
【详解】解：在平行四边形ABCD中， AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵D为AE的黄金分割点，且，
∴，
∴，
∵AB=CD，
∴
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识及三角形相似的判定和性质，求出相应的比是解题的关键，难度不大．
16. 当时，函数的最小值为4，则a的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当时函数有最小值4，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：．
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)，
当x1时，y随x的增大而增大，
∵当时，函数有最小值4，分两种情况讨论：
若时，当x=a时，y的最小值是4，
∴
若时，当x=a+1时，y的最小值是4，
∴，
解得a=-2，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分．第24小题12分，共72分）
17. 在一个不透明的口袋里有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．求下列事件的概率．
（1）随机地摸出一个小球是奇数；
（2）随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为4．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接运用概率公式代入数值，即可作答．
（2）画出树状图，然后根据概率公式计算即可得解．
本题考查了概率公式，列表法和树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【小问1详解】
解：依题意，标号1、2、3这三个小球，其中是奇数的小球有两个，
∴，
∴随机地摸出一个小球是奇数的概率是，
【小问2详解】
解：根据题意画出树状图如下：
共有9种等可能的情况，两次摸出的小球标号的和为4的情况有种，
∴
∴两次摸出的小球标号的和为4的概率是．
18. 如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．
（1）以O为位似中心，在网格中作，且与的位似比为．
（2）在线段上作点P，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-位似变换：
（1）延长到使，延长到使，点在C点，则满足条件；
（2）点向右4格的点与点向左2格点连接起来与交点即为点P，此时根据平行可得，即得到．
【小问1详解】
解：如图：即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点P即所求．
19. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为0,3，与x轴的一个交点为1,0．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象与x轴的另一个交点坐标；
（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由对称轴为直线，可设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解；
（2）根据抛物线解析式直接得出答案即可；
（3）根据抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
解：设抛物线解析式为，
将，代入得：，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：或，
∴该图象与x轴的另一个交点坐标为；
【小问3详解】
解：∵抛物线与x轴的交点坐标为或，
∴由函数图象得：当时，自变量x的取值范围是．
【点睛】本题考查待定系数法的应用，二次函数的顶点式，二次函数与不等式的关系等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键．
20. 如图，已知在中，，．
（1）求的长：
（2）当时，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出即可；
（2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
【详解】（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
22. 为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．
【答案】路灯离地面的高度是9米
【解析】
【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值．
【详解】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴＝，即，
解得OB＝h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴，②，
把①代入②得， ，
解得：h＝9（米）．
答：路灯离地面的高度是9米．
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
问题提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为，开2个门，且门宽均为．
素材2：与现有墙平行方向墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题的解决
【答案】（1）；（2）；（3），，
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的实际应用，解题关键：一是列出S关于x的函数表达式，二是配成顶点式．
任务一：先根据题中条件写的长，即可求出S关于x的函数表达式；
任务二：先根据的长和总费用不高于5800元，列出关于x的不等式组求解即可；
任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据��的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值．
【详解】解：（1）．
（2），
∴．
（3），
∵不在范围内，且，
∴当时，y随x的增大而减小．
∴当时，．
即，，．
24. 如图，点C是以为直径的上一点，过中点D作于点E，延长交于点F，连结交于点G，连结，．
【认识图形】
（1）求证：．
【探索关系】
（2）①求与的数量关系．
②设，，求y关于x的函数关系．
【解决问题】
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，结合已知条件可得出，由同弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出，再结合，即可证明．
（2）①由相似三角形的性质可得出，由线段中点可得出，进而可得出，进而可得出．
②过C作垂直于H，则，由平行线截线段成比例即可得出，，再结合，，即可得出y关于x的函数关系．
（3）由已知条件可得出，．设，则，以为等量关系，结合勾股定理即可得出a的值，再利用勾股定理即可得出．
【详解】解：（1）证明：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
∴，
∴，
又∵，
∴．
解：（2）①∵，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
②过C作垂直于H，则，
∴，，
∴．
解：（3）∵，，
∴，，
设，，
∴，
由（2）可知，，
∴，即．
∴，．
设，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴，
∴．
任务1
确定饲养室的形状
设，矩形的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2
探究自变量x的取值范围．
任务3
确定设计方案
当 m， m，
S的最大值为 ．