山东省济南第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份山东省济南第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知，则实数的值为（ ）
A．3B．5C．3或5D．无解
3．（5分）不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
4．（5分）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．1C．2D．
8．（5分）已知不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．8
二、多选题（每小题6分，共18分）
（多选）9．（6分）对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
（多选）10．（6分）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为4
C．的最小值为D．的最小值为0
（多选）11．（6分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）
A．函数满足：
B．函数的值域是
C．对于任意的，都有
D．在图象上不存在不同的三个点、、，使得为等边三角形
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（5分）设，，若，则实数_____．
13．（5分）已知函数满足对任意的实数，都有，则的取值范围是_____．
14．（5分）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是_____．
四、解答题（共77分）
15．（13分）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（15分）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
17．（15分）函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定的解析式；
（2）证明在上的单调性；
（3）解关于的不等式．
18．（17分）已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求实数a，b的值；
（2）解关于的不等式．
19．（17分）已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
2024-2025学年山东省济南三中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．【答案】B
【分析】根据题意，利用集合并集的概念与运算，即可求解．
【解答】解：，，
则．
故选：B．
2．【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系进行判断．
【解答】解：，
当时，那么：，违背集合元素的互异性，不满足题意．
当时，，集合为满足题意．
实数的值为5．
故选：B．
3．【答案】C
【分析】由分式不等式的求解方法计算即可．
【解答】解：原不等式可化为，解得．
故选：C．
4．【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可．
【解答】解：的定义域为，
，解得：，
的定义域为．
故选：B．
5．【答案】B
【分析】采用换元法，令，则，再代入中，化简即可得解．
【解答】解：令，则，
，
，
即．
故选：B．
6．【答案】A
【分析】利用指数函数的比较大小即可．
【解答】解：，在上单调递增，
，，
在上单调递减，，
．
故选：A．
7．【答案】C
【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得，的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【解答】解：由，解得，又，所以函数过定点为，
代入直线中，得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2．
故选：C．
8．【答案】D
【分析】由不等式恒成立，可得，利用基本不等式可求得的最小值．
【解答】解：恒成立，
，
解得，
，，
（当且仅当，即，时取
等号）．
即的最小值是8．
故选：D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
（多选）9．【答案】BD
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解：A．不一定成立；
B．由，则，可得：．
C．不一定成立，例如，．
D．，，即，则，成立．
故选：BD．
（多选）10．【答案】ACD
【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解．
【解答】解：对于A，因为，，且，所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，
即，时取等号，故B错误；
对于C，因为，
对C，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，由，，且，可知，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．【答案】AC
【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的三要素、函数的奇偶性，对选项A、B、C三项依次分析，可得这三项的正误；然后通过取特殊点进行说明，判断出D项的正误，可得答案．
【解答】解：对于选项A，根据狄利克雷函数的解析式，
若，则，可得；若，则，可得．
综上所述，对于任意，总有成立，故A项正确，
对于选项B，的函数值只可能是0或1，
所以的值域为，而不是，故B项错误，
对于选项C，若，则，可得，
若，则，可得，故C项正确，
对于选项D，取，，，
此时，可知为等边三角形．
所以图象上存在不同的三点、、，使得为等边三角形，故D项不正确．
故选：AC．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据全集和，容易求出集合，再根据已知集合的等式判断出的值
【解答】解：，
而，
0，3为的两个根
解得
故答案为-3
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，分析可得函数为减函数，进而可得关于的不等式组，解可得的取值范围，
即可得答案．
【解答】解：根据题意，若函数满足对任意的实数都有，
则函数上为减函数，
则有，
解可得，
即的取值范围为；
故答案为：．
14．【答案】．
【分析】把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可．
【解答】解：关于的不等式在上有解，
转化为，在上有解，
令，，
转化为求，上的最小值，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故时，，
因此要使不等式在上有解，
则．
故答案为：．
四、解答题（共77分）
15．【答案】（1）或；（2）．详解见解析．
【分析】可利用集合间的关系进行求解．
【解答】解：（1）当时，，
所以或，
（2）由题可知，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，
可得，或，解得．
16．【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）由幂函数的单调性求得，由，通过检验即可求解；
（2）由已知得，两边平方，即可求解实数的取值范围．
【解答】解：（1）由幂函数在上单调递增知，，解得，
又，则．
当或时，，不符合的图像关于轴对称，故舍去．
当时，，图像关于轴对称，符合题意．
综上所述，．
（2）由（1）得为偶函数且在上单调递增，
因为，所以，
两边平方，得，
化简得，解得或，
故实数的取值范围为．
17．【答案】（1）．（2）见解答过程．（3）
【分析】（1）由题意，根据、，求出和的值，可得函数的解析式．
（2）由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性．
（3）由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得的范围．
【解答】解：（1）函数是定义在上的奇函数，则，解可得．
又由，则有，解可得，故．
（2）由（1）的结论，，设，
则
，
再根据，可得，，，，
故有，即，
可得函数在上为增函数．
（3）由（1）（2）知为奇函数，且在上为增函数，
关于的不等式，即式，
可得，解可得：，
即不等式的解集为．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出、的值；
（2）不等式化为，讨论的取值，从而求出不等式的解集．
【解答】解：（1）函数，
不等式化为，
由该不等式的解集为，
所以，且1和2是方程的两根，
所以，解得，；
（2）不等式，即．①当时，不等式为，解得；
②当时，不等式为，此时，解得；
③当时，不等式为，若，则，解得或；
若，则，不等式为，解得；
若，则，解得或；
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或．
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）将代入，利用换元法求解即可；
（2）由题意可得，利用换元法求出函数在上的最小值，代入求解即可．
【解答】解：（1）当时，，，
令，
因为，则，
所以，其中，
所以当时，；
当时，，
即，
所以的值域为；
（2）因为，，
设，
则在单调递减，在单调递增，
由复合函数单调性得在单调递减，在单调递增，
故，
因为对任意，存在，使得成立，
则，
所以在上恒成立，
令，
因为，则，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
而在上单调递增，
故，
所以，
即．