2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在下列各式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
2．（2分）根式，，，中，与是同类二次根式的有 个．
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）下列关于的方程中一定有实数解的是
A．B．C．D．
4．（2分）下列说法中，正确的是
A．每个命题不一定都有逆命题
B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题仍是真命题
D．假命题的逆命题未必是假命题
5．（2分）下列命题中是真命题的是
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C．三角形的一个外角等于两个内角的和
D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
6．（2分）下列从左到右的变形不一定正确的是
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）的一个有理化因式是 ．
8．（2分）化简：（其中 ．
9．（2分）若，则 ．
10．（2分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果，那么”的形式 ．
11．（2分）若最简二次根式与是同类根式，则 ．
12．（2分）计算： ．
13．（2分）不等式的解集是 ．
14．（2分）某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到605张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为，则根据题意可列方程为 ．
15．（2分）在实数范围内因式分解： ．
16．（2分）将根号外的因式移到根号内得 ．
17．（2分）若实数是方程的一个根，则代数式的值是 ．
18．（2分）小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．
请你学习小明的方法，解决下列问题：
解方程，得方程的解为 ．
三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）解方程：．
22．（5分）解方程：．
23．（5分）解方程：．
24．（5分）当时，化简代数式，并求代数式的值．
四．解答题（本大题共4题，第25～27题每题8分，第28题10，满分34分）
25．（8分）一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米？
26．（8分）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且，，都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解．
27．（8分）如图，在△中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
（1）如图1，求证：△△；
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，联结，的延长线与的延长线相交于点，证明：；
（3）在（2）的条件下，联结，当 时△是等腰三角形．
28．（10分）已知，是一元二次方程的两个实数解．
（1）根据求根公式可求得 ， ．
（用含字母，，的代数式表示）
（2）已知，是一元二次方程的两个实数根．
①请用含的代数式表示 ； ．
②若实数为整数，且满足的值也为整数，则 ．
（3）若，，，为互不相等的实数，且满足，则 ．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）在下列各式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，符合题意，
故选：．
2．（2分）根式，，，中，与是同类二次根式的有 个．
A．1B．2C．3D．4
解：与不是同类二次根式；
与是同类二次根式；
与不是同类二次根式
只有与是同类二次根式，共1个，
故选：．
3．（2分）下列关于的方程中一定有实数解的是
A．B．C．D．
解：、，△，故此方程无实数解，此选项错误；
、，△，故此方程有实数解，此选项正确；
、，△，故此方程无实数解，此选项错误；
、，△（由于的值不确定，故可以，可以，故此方程不一定有实数解，此选项错误．
故选：．
4．（2分）下列说法中，正确的是
A．每个命题不一定都有逆命题
B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题仍是真命题
D．假命题的逆命题未必是假命题
解：、每个命题一定都有逆命题，故本选项说法不正确，不符合题意；
、每个定理不一定都有逆定理，故本选项说法不正确，不符合题意；
、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法不正确，不符合题意；
、假命题的逆命题未必是假命题，说法正确，符合题意；
故选：．
5．（2分）下列命题中是真命题的是
A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C．三角形的一个外角等于两个内角的和
D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
解：、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以选项为假命题；
、两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以选项为真命题；
、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以选项为假命题；
、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以选项为假命题．
故选：．
6．（2分）下列从左到右的变形不一定正确的是
A．B．C．D．
解：，则不符合题意；
中若，都小于0，那么原式，则符合题意；
，则不符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）的一个有理化因式是 ．
解：，
的一个有理化因式为．
故答案为：．
8．（2分）化简：（其中 ．
解：二次根式有意义，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（2分）若，则 3 ．
解：由题意得：，，
解得，
把代入，
，
；
故答案为：3．
10．（2分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果，那么”的形式 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． ．
解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
11．（2分）若最简二次根式与是同类根式，则 9 ．
解：由题可知，
，
解得，
又知，
解得，
故
故答案为：9．
12．（2分）计算： ．
解：，
，
故答案为：．
13．（2分）不等式的解集是 ．
解：移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
；
故答案为：．
14．（2分）某木器厂今年二月份生产了课桌500张，从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到605张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为，则根据题意可列方程为 ．
解：设这个增长率为，
由题意得，；
故答案为．
15．（2分）在实数范围内因式分解： ．
解：根据题意可知，使，
所以△，
所以，
即，
所以
．
故答案为：．
16．（2分）将根号外的因式移到根号内得 ．
解：有意义，
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
17．（2分）若实数是方程的一个根，则代数式的值是 2022 ．
解：由条件可知：，
，
，
故答案为：2022．
18．（2分）小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．
请你学习小明的方法，解决下列问题：
解方程，得方程的解为 或 ．
解：，
又由，
可得，
将这两式相加可得，
，
，
或，
经验或是原方程的解，
故答案为：或．
三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）
19．（5分）计算：．
解：
．
20．（5分）计算：．
解：原式
．
21．（5分）解方程：．
解：，
，
或，
解得：．
22．（5分）解方程：．
解：
整理得：，
，
解得：．
23．（5分）解方程：．
解：，
，
，
，
或，
，．
24．（5分）当时，化简代数式，并求代数式的值．
解：，
，
，
原式
，
当时，原式．
四．解答题（本大题共4题，第25～27题每题8分，第28题10，满分34分）
25．（8分）一个物流公司因为业务拓展，计划建造一个面积为150平方米的矩形仓库，为节约材料，仓库的一边靠墙，墙长18米，另三边用铁栅栏围成，且在与墙平行的一边要开一扇2米宽的门，已知铁栅栏材料的总长为33米，求矩形仓库的长与宽应分别为多少米？
解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，
根据矩形面积公式得，，
整理，得，
解得：，，
所以当垂直于墙的边长为7.5米，则平行于墙的长度为（米米，舍去；
当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为（米；
答：仓库的长为15米，宽为10米．
26．（8分）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且，，都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解．
解：（1），是关于的方程的两个不相等的实数根，
，
解得；
（2）由（1）得，，
，
，
由可得：，
，，都是整数，
为开方数，
或41或46或53或62或73或86，
的最大值为86，
此时方程为，
解得：，．
27．（8分）如图，在△中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
（1）如图1，求证：△△；
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，联结，的延长线与的延长线相交于点，证明：；
（3）在（2）的条件下，联结，当 或 时△是等腰三角形．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
△△；
（2）证明：是的平分线，
，
由（1）知，，△△，
，
，
△△，
，
，
；
（3）解：由题意可分：①当△是以的等腰三角形时，则有：，
△是等边三角形，
，
；
②当△是以的等腰三角形时，如图所示：
，，
垂直平分，
，
平分，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
解得：；
③当时，则，
，
，且点在的延长线上，
此种情况是不成立的；
综上所述：当或时，△是等腰三角形；
故答案为：或．
28．（10分）已知，是一元二次方程的两个实数解．
（1）根据求根公式可求得 ， ．
（用含字母，，的代数式表示）
（2）已知，是一元二次方程的两个实数根．
①请用含的代数式表示 ； ．
②若实数为整数，且满足的值也为整数，则 ．
（3）若，，，为互不相等的实数，且满足，则 ．
解：（1），是一元二次方程的两个实数解，
根据求根公式可得，
，
，
，
故答案为：，．
（2）①，是一元二次方程的两个实数根，
，
①，
故答案为：1，．
②
，
的值为整数，
或或，
方程有两个实数根，
△，解得：，
或或．
（3），，，为互不相等的实数，且满足，
由此可知，是方程的两根，即的两根，
，
，
故答案为：．