贵州省2024-2025学年九年级上学期期末数学测试卷

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一、单选题
1．若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各事件中，是必然事件的是（ ）
A．是实数，则B．掷一枚硬币时，正面朝上
C．三角形内角和是D．任意买一张电影票，座位号是单号
4．将抛物线y=x+22−3，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A．y=x+52−1B．y=x+52−5
C．y=x−12−1D．y=x−12−5
5．方程的根是（ ）
A．B．
C．，D．，
6．如图，，为上一点，于点，且，以点为圆心，半径为的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
7．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像开口向上B．函数的最大值为
C．图像的对称轴为直线D．图像与轴的交点坐标为
8．在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（ ）
A．12B．7C．5D．2
9．如图，四边形内接于，，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为
A．1B．2C．3D．4
11．已知抛物线，若点，都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
13．在平面直角坐标系内，若点和点关于原点O对称，则的值为 ．
14．抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ．
15．如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ．
16．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接．若，，则的最大值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)； (2)
18．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；
(2)画出关于原点O的对称图形．
(3)P为x轴上一点，且取得最小值，直接写出点P的坐标为________．
19．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为1，求m的值和另一个根．
20．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯．
(1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______；
(2)请你用树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．
21．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC为8m，宽OA为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过，为什么？
22．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，连接．
(1)求线段的长； (2)求的面积．
23．如图，是的直径，点C在上，点D在的延长线上，．
(1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．
24．【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
25．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积．
4
3
2
1
车库
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义，根据定义准确确定参数值是解题的关键．根据一元二次方程的定义，含有一个未知数，且含有未知数的最高次项为2，可知二次项系数不为0，即，由此即可求得结果．
【详解】解：由题意可知，
即：，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项判断即可得出答案．关键掌握“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”．
【详解】解：、该图形即是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
3．C
【分析】本题考查了随机事件，绝对值的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答．
【详解】解：、是实数，则，是不可能事件，故不符合题意；
、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
、三角形内角和是，是必然事件，故符合题意；
、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：由得，
∴或，
解得，，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系和含角的直角三角形性质的应用，求出的长，根据直线和圆的位置关系判断即可，正确理解直线和圆的位置关系是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴以点为圆心，半径为的圆与的位置关系是相离，
故选：．
7．B
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，故A不符合题意；
对称轴为值，顶点坐标为，
∴函数最大值为，故B符合题意，C不符合题意，
当时，，
图像与轴的交点坐标为，故D不符合题意．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查的知识点是概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式．首先设袋中绿球的个数为x个，然后根据概率公式，可得：，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设袋中绿球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴袋中绿球的个数为5个，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，作出合适的辅助线是解题的关键．连接，根据圆周角定理可知，再根据，求出和，再根据得到，从而求得．
【详解】连接，如图
又
．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．由勾股定理得出的长，再由旋转的性质得，即可求得结果．
【详解】解：，，，
，
由旋转所得，
，
，
故选：B．
11．A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点，都在该抛物线上，且，
∴；
故选A．
12．C
【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
根据对称轴位置及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④．
【详解】解∶①函数图象开口方向向上，
，
对称轴在y轴右侧，
异号，
，
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，
，
，
，故②正确；
③点关于直线的对称点为，
时，，时，，
即，故③错误；
④对称轴为直线，，
为最小值，
，
，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故选：C．
13．
【分析】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解．
【详解】解：∵点和点关于原点O对称，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的两点，横纵坐标均互为相反数，是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及抛物线的对称性，根据抛物线解析式得到其对称轴，再结合抛物线的对称性，即可得到它与x轴的另一个交点的坐标．
【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为，
其对称轴为直线，
它与x轴的另一个交点的坐标为，
故答案为：．
15．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程求出r即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为
根据题意得
解得
即该圆锥底面圆的半径为
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判断与性质、三角形中位线定理，连接、，证明为等腰直角三角形，得出，推出的直径为，由三角形中位线定理可得，即当最大值，最大，当为直径时，最大，为，即可得解．
【详解】解：如图：连接、，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴的直径为，
∵，分别是，的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴当最大值，最大，当为直径时，最大，为，
∴的最大值为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）移项后用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：移项，得
因式分解，得，
∴或，
即 ；
（2）解：，
，
，
即．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，轴对称最短路径问题，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键．
（1）根据旋转方式找到B、C对应点的位置， 再顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，点P即为所求，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求
（3）解：如图所示，作点C关于x轴对称的点D，连接交x轴于点P，
由轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可知，点P即为线段与x轴的交点，
∴由图可知，点P的坐标为．
19．(1)见解析
(2)，另一根为2
【分析】（1）根据根的判别式进行判断即可求解．
（2）根据一元二次方程根的定义求得的值，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得另一个解．
【详解】（1）证明：
∵
∴方程总有两个实数根
（2）令x=1，则1-m+2m-4=0，所以m=3
把m=3代入，则
设另一根为，则
=2
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式取值对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．若是一元二次方程的两根，，．
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．
(1) 根据简单概率公式计算概率即可．
(2) 画树状图法计算概率即可．
【详解】（1）一共有4种等可能性，其中甲在1层出电梯可能性有1种，
故乙和甲在同一层楼出电梯的概率是．
（2）根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能性，其中，甲乙从相邻电梯处的可能性有6种，
故甲、乙在相邻楼层出电梯的概率是．
21．(1)抛物线为：y＝﹣+6；
(2)货车可以通过，理由见解析；
(3)货车可以通过，理由见解析．
【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令y＝4，解出x，然后将|x1﹣x2|与车宽2m作比较即可求解；
（3）隧道内设双行道后，将（2）求出y＝4时的抛物线线上两点的距离与2个车宽即4m作比较．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以a＝﹣．
因此抛物线为：y＝﹣+6．
（2）解：令y＝4，则有4＝﹣+6，
解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，
|x1﹣x2|＝4＞2，
∴货车可以通过；
（3）解：由（2）可知|x1﹣x2|＝，
∴货车可以通过．
【点睛】此题考抛物线的性质及其应用，将抛物线上y=4的两个点之间的水平距离与货车作比较，从而来解决实际问题．
22．(1)
(2)
【分析】此题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的面积公式等知识．
（1）由，，，根据勾股定理求得，由旋转得，则；
（2）由，得，再由可得到问题的答案．
【详解】（1），，，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
；
（2）如图，过点作于点．
在中，．
，，，
，
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，求不规则图形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用：
（1）连接由是直径，可得，再证从而有，即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积．
【详解】（1）证明：连接
∵是直径，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：由（1）得
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
24．（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
（1）由得，，再运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出，根据二次函数的性质可得结论；
（3）根据勾股定理求出，再分为腰和底两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴，C0,−3，
把，C0,−3代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，C0,−3代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为0,3或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或0,3或．
25．（1）；（2）保持不变，理由见解析；（3）的面积为或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理；
（1）当可得四边形是正方形，此时、重合，可得；
（2）过作于，过作于，由旋转结合等腰三角形三线合一可得，再证明，得到，最后由，得到，，即可得到；
（3）参考（2）中作辅助线，过作于，过作于，先证明，得到，，再由，得到，利用勾股定理求出，，最后根据计算，需要利用点与点位置去分类讨论．
【详解】解：（1）∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵点E在射线上，，
∴此时、重合，
∴，
∴；
（2）在旋转的过程中不变，理由如下：
如图，过作于，过作于，则，
∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理，当在点左边时，如图
，
∴；
综上所述，的面积为或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
D
A
B
C
B
B
题号
11
12








答案
A
C