2025届天津市第四十一中学高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份2025届天津市第四十一中学高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题5分，共45分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
所以，
故选：C
2. 已知，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解不等式可得或，解得或，
解不等式，可得或.
或或x>2，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知命题：“”，则为（ ）
A. B.
C. 不存在D.
【答案】B
【解析】命题：“”，
则为
故选:B
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可知是偶函数，排除A，B；当时，，选项C错误．
故选：D.
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设曲线在点处的切线方程为，
因，
所以，
所以，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
6. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. 120B. 60C. 40D. 30
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
故选：B.
7. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1
【答案】A
【解析】由题意知报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件，
则，所以,
故选：A
8. 已知定义在上的偶函数在区间-∞,0上递减.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为定义在R上的偶函数在区间-∞,0上递减，所以在(0,+∞)上递增，
，，，
因为，在(0,+∞)上递增，
所以，即，
故选:B.9. 已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为关于的不等式恒成立,
所以当时恒成立且当时，恒成立；
所以当时恒成立且当时，恒成立，
即当时恒成立且当时，恒成立；
所以当时，令，函数g(x)是开口向下的二次函数，对称轴为，
所以当时，即时，函数g(x)在上单调递增，在单调递减，故原不等式恒成立等价于，解得；
当时，即时，函数g(x)在上单调递增，故原不等式恒成立等价于，解得；
当时，令，则，故在区间上单调递减，在上单调递增，所以原不等式恒成立等价于，即.
综上，实数的取值范围是，
故选：C.
二、填空题：（每小题5分，共30分）
10. 已知是虚数单位，化简的结果为_________．
【答案】
【解析】由题意可得.
11. 在的展开式中，的系数为_________．
【答案】
【解析】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因此．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】
【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，
所以，；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
14. 已知，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为，所以,
∴,
所以
=，
当 ，即时取等号，的最小值为 .
故答案为：.
15. 下列命题正确的是______．
①对于事件，若，且，则
②若随机变量，则
③相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强
④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差
【答案】①③④
【解析】对于①，对于事件，，即A发生必定有B发生，则，①正确；
对于②，若随机变量，
则，②错误；
对于③，相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强，正确；
对于④，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差，正确，
故答案为：①③④.
三、解答题：（本大题共5小题，共75分），
16. 已知定义域为R的单调函数是奇函数,当时,.
（1）求的解析式.
（2）若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
解：（1）当时, ，
，又函数是奇函数，
，，
故，
又．综上所述 ；
（2）为R上的单调函数，且，
∴函数在R上单调递减．
，
，
函数是奇函数，
．
又在R上单调递减，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
，解得：．
故实数的取值范围为．
17. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：；
乙：；
丙：.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的分布列和数学期望.
解：（1）设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
其概率为；
（2）记事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，则，
事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，则，
依题意可知的可能取值为，
则，
，
，
，
所以的分布列为
期望.
18. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若，求在上的最大值．
解：（1）；
当时，, 在上单调递增，无极值；
当时，,在上，，单调递减，
在上，，单调递增，有极小值；
综上：当时，无极值；当时，有极小值.
（2）由（1）知，时，在上，单调递减，在上，单调递增.
所以，当时，；
当时，，，
若，则，
Ⅰ：当时，，；
Ⅱ：当时，，；
当时，；
综上得：.
19. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
解：（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
20. 已知函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，则．
（1）解：[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令f'(x)=0,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）证明：[方法一]：构造函数
由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故上单调递减
故，即得证．准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500