浙江省湖州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024—2025学年第一学期期中教学质量监测九年级数学一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ）A． B． C． D．12．二次函数的顶点坐标是（ ）A． B． C． D．3．从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）A． B． C． D．4．如图，点A，B，C在上，，则的大小是（ ）A． B． C． D．5．如图，四边形ABCD内接于，点E在BC的延长线上．若，则（ ）A． B． C． D．6．已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（ ）A． B． C． D．7．如图，EF、CD是的两条直径，A是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）A． B． C． D．8．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论中，不正确的是（ ）A． B． C． D．9．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，已知，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设，（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的k值______．12．做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为______（结果精确到0.1）13．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是______．14．如图，C、D是以线段AB为直径的上两点（位于AB两侧），，且，则的度数是______．15．在半径为5的圆O中AB，CD分别是它的两条弦，且，其中，，求此时这两条弦之间距离为______．16．在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题8分）如果，且，求的值．18．（本小题8分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P；（2）求AC的长．19．（本小题8分）如图，AB是的直径，C，D在上，且位于AB异侧，，的度数分别为，，请仅用直尺按要求作图．（1）画出一个大小为的角，并写出该角．（2）画出一个以AD为腰的等腰三角形，并写出该等腰三角形．20．（本小题8分）如图，四边形ABCD内接于，是四边形ABCD的一个外角，且AD平分．（1）求证：；（2）若，，求的长度．21．（本小题8分）如图，在中，弦，于E，于H．（1）求证：．（2）若的半径为5，，，求的长．22．（本小题8分）如图，AB是的直径，点D为AB下方上一点，点为的中点，连结CD，CA，AD．延长AC，DB相交于点E．（1）求证：．（2）若，，求的半径．23．（本小题8分）已知二次函数（m，n是常数，且）（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；（2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式；（3）若二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，（其中），t是关于m的函数．且，当时，求m的取值范围．24．（本小题12分）定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线．（1）概念理解：如图，在中，，D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；（2）问题探究：已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；（3）应用拓展：将抛物线向下平移9个单位后得新的抛物线．抛物线的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为11次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推⋯，请求出当第2025次翻滚后抛物线的顶点P的对应点坐标．答案和解析1．【答案】A【解析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份，∴落在红色区域的概率．故选：A．2．【答案】D【解析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵二次函数的顶点式为，∴其顶点坐标为：．故选：D3．【答案】C【解析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【详解】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为．故选：C．4．【答案】A【解析】根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵点A、B、C在上，，∴故选：A．5．【答案】B【解析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求得，再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角求解．【详解】解：∵，∵，∴．故选：B．6．【答案】D【解析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将点代入据此及可求解．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，∴设抛物线的函数表达式为；将点代入得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为，故选：D7．【答案】C【解析】解：如下图，连接OA，∵A是劣弧的中点，即，∴，∵，∴，∵，∴，即．故选：C．首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．8．【答案】C【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为，∴，∴，所以选项A正确，不合题意；∵抛物线与x轴有2个交点，∴，所以选项B正确，不合题意；∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，所以选项C不正确，符合题意；∵时，，∴，所以D正确，不合题意．故选：C．用抛物线的对称性可确定A点坐标为，则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到，再利用对称轴方程得到，则可对选项C进行判断；利用时，，即和可对选项D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数（a，b，c是常数，）是常数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．9．【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，把，代入，可得：，解得，∴，故②正确；∵抛物线开口方向向下，∴，∴，，∴，故①错误；∵．，∴，又∵，，∴，即（其中），故③正确；∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，∴当时，y随x的增大而减小，∵，∴，故④错误，故选：B．根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解．本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键．10．【答案】B【解析】解：连接BE，设的度数为，则，∵AE为直径，∴，∵，∴，∵，，∴，解得：，即的度数为，A、当时，的度数是，故本选项错误；B、当时，的度数是，故本选项正确；C、当时，即，的度数是，故本选项错误；D、当时，即，的度数是，故本选项错误；故选：B．连接BE，根据圆周角定理求出，，再根据三角形外角性质得出，得到的度数为，再逐个判断即可．本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．11．【答案】3（答案不唯一）【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数，据此求出k的范围，得到合适的k值．【详解】解：因为抛物线的开口向上，所以，即，故k的取值范围是，则k可以取3．故答案为：3（答案不唯一）．12．【答案】0.2【解析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可．【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.2，故答案为：0.213．【答案】8【解析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键．【详解】解：红球m个，白球8个，黑球n个，∴取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为，∵取得白球的概率与不是白球的概率相同，∴，∴，当时，原分式方程有意义，∴m与n的和是8，故答案为：8．14．【答案】/35度【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据，只要求出，即可．【详解】解：∵AB是直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．15．【答案】1或7【解析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是分情况讨论．连接OC、OA，过点O作于E，交CD于F，则，根据垂径定理求CF，AE根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．【详解】解：连接OA，OC，过点O作于E，交CD于F，当AB和CD在圆心的同侧时，如图所示，∵，，∴，∵，∴，，根据勾股定理，得，，则；当AB和CD在圆心的两侧时，如图所示，∵，，∴，∵，，∴，，根据勾股定理，得，，则．故答案为：1或7．16．【答案】或【解析】分，两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】设线段AB所在的直线解析式为：∵点，点，∴解得，∴∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，∴令，则∴∴①当时，解得：∴②当时，解得：∴综上所述：或．故答案为：或．17．【答案】解：令，∴，，，∵，∴，∴，∴，，，∴．【解析】令，从而表示出a，b，c，再代入，即可求出k的值，于是可以解决问题．本题考查比例的有关知识，设，是解题的关键．18．【答案】解：（1）如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC，的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．（2）由勾股定理得，．【解析】（1）连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P．（2）利用勾股定理计算即可．本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键．19．【答案】解：（1）如图，；（2）如图：等腰为所求；【解析】（1）由BC的度数为，可知它所对的圆周角度数为，由此即可解题；（2）由AD的度数为，AB是的直径，可得BD的度数为，进而可得，，延长DO交AC与E点即可得到，从而可得等腰三角形．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．20．【答案】（1）证明：∵AD平分，∴，∵，，∴，∴；（2）解：连结OB、OC，如图，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴的长度【解析】（1）先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，利用圆周角定理得到，所以，从而得到结论；（2）连结OB、OC，如图，利用（1）的结论得到，则为等边三角形，所以，，根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求解．本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．21．【答案】【小题1】证明：∵，∴，，即，∴．【小题2】解：连接OB，如图所示：∵，，∴．由勾股定理，得．同理可得．∴．【解析】1．本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；由题意易得，进而问题可求证；2．连接OB，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解．22．【答案】【小题1】证明：∵C为的中点，∴，∴，，∵是的直径，∴，∴，∴；【小题2】解：连结，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设的半径r，则，∴，∵，∴，整理得，解得，（舍去），∴的半径为5．【解析】1．本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是综合运用以上知识解决问题；根据垂径定理的推理可知，由直径对直角可知，进而可证明；2．连结，则，利用等腰三角形的性质可证，由平行线的性质可得，进而可证，设的半径r，由勾股定理可知，进而可得方程，解方程即可．23．【答案】【小题1】证明：在二次函数中，∵，∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；【小题2】解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点，∴当时，点A，B是二次函数上关于对称轴对称的两个点，∴二次函数对称轴为，∴，解得，，∴二次函数解析式为：；【小题3】解：令，则，∵，∴，∵，解得，，，∵，∴，如图所示，当时，，解得，，∴当时，或．【解析】1．本题主要考查二次函数与x轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与x轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键．根据二次函数与x轴交点的判定方法进行判定即可；2．当时，点A，B是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出m的值，代入即可求解；3．分别用含m的式子表示出，，再代入，得到t是关于m的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解．24．【答案】【小题1】解：证明：∵，点D是BC的中点，∴，∵抛物线以A为顶点x轴交于D、C两点，∴，∴，∴是等边三角形，∴以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；【小题2】∵且，点F在x轴上且E在F的左边，∴∵一条经xx轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G，∴是等边三角形，∴，，①当时，设抛物线解析式为把点代入得：，∴，∴，②当时，设抛物线解析式为，把点代入得：∴，∴，综上所述，这条抛物线的解析式为或；【小题3】∵抛物线，∴向下平移9个单位后得抛物线，∴，，，∴，∴是等边三角形，∴第一次翻滚顶点P的坐标变为，第二次翻滚得与相同，第三次翻滚得，即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为：，∵∴，∴第2025次翻滚后抛物线的顶点P的对应点坐标．【解析】1．由中AD是斜边BC的中线可得，由抛物线对称性可得，即证得是等边三角形；2．设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标，由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式；3．根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边，所以即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为，2025能被3整除，代入即能求此时点P坐标；本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．抛掷总次数50100500800150030005000杯口朝上频数5151001683306601100杯口朝上频率0.10.150.20.210.220.220.22