2025届河北省沧衡名校联盟高三(上)11月期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届河北省沧衡名校联盟高三(上)11月期中考试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由题意可得，解得．
故选：B.
2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，当时，不满足，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，则，故C正确；
对于D，当时，不满足，故D错误.
故选：C.
3. 在等比数列中，，则（ ）
A B. 81C. D. 243
【答案】D
【解析】设数列的公比为，则，解得，
所以.
故选：D
4. 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军，
所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.
故选：B
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以
解得，
所以.
故选：A
6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，）
A. 0.268B. 0.87C. 1.13D. 1.87
【答案】B
【解析】由题意得
.
.
故选：B
7. 如图，AB是圆O的一条直径，CD是圆O的一条弦，点P在线段CD上，若，，则的最小值是（ ）
A 41B. 50C. 82D. 100
【答案】C
【解析】如图，连接.由题意得是线段的中点，所以.
因为，
所以，
所以.因为，
所以圆心到直线的距离，所以，
所以，故的最小值是82.
故选：C.
8. 已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
由在内恰有两个零点，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】ACD
【解析】因为，
所以，所以，故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确.
因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确．
故选：ACD.
10. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的外接圆的面积是
C. 的面积的最大值是D. 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A项，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，故A项错误．
对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
则的外接圆的面积是，故B项正确．
对于C项，由余弦定理可得，即①．
因为②，当且仅当时，等号成立，
所以由①②得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，则C项正确．
对于D项，由正弦定理可得，则，，
所以
又因为，所以，所以，
所以，即取值范围是，故D项正确．
故选：BCD.
11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】在上的奇函数满足，当时，，
对于A，由，得，A正确；
对于B，，，函数的图象不关于直线对称，B错误；
对于C，由，得，
则，
因此函数的图象关于点中心对称，C正确；
对于D，，当时，，设，则，
于是，因此，
所以，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，．，若，则___________．
【答案】
【解析】因为，，所以；
因为，所以，解得.
13. 正偶数排列如图所表示第行第个数，如，若，则___________．
【答案】
【解析】由图形可知，是图形中第个数，
由题意可知第行有个数，则前行一共有个数.
当时，，当时，，
则2024在第45行，即.因为，所以，
则.
14. 已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______
【答案】
【解析】由，即，得.
因为，所以.
设，则.
因为，所以，所以在上单调递增.
因为，所以，所以，
所以，所以.
设，则.
由，得，则在上单调递减；
由，得，则在上单调递增.
故，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求的大小；
（2）若，且的面积是，求的值．
解：（1）因为，所以
因为，所以，所以，
所以，即，
所以，又，所以.
（2）因为的面积是，所以，解得.
由余弦定理可得，又，即，
则，即，故.
16. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
解：（1）函数，求导得，
则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）设过点的切线的切点为，
由（1）知，则切线斜率，
切线方程为，而切线过点，
则，即
令，依题意，直线与函数的图象有3个交点，
求导得，由，得或；
由，得，则函数在上单调递增，上单调递减，
当时，取得极大值，在时，取得极小值，
当，即时，直线与函数的图象有3个交点，
因此当时，过点可作曲线的三条切线，
所以的取值范围为.
17. 设数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
解：（1）因为，所以当时，，
所以，即.
当时，，解得，
则是首项为1，公比为3的等比数列，
故．
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，.
当为奇数时，
，
当为偶数时，
.
综上，.
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
解：（1）由题意可得，则.
因为，且，所以.
由图可知，则，
解得.
因为，所以.
由图可知，解得.
故.
（2）令，解得，
所以的单调递减区间是.
（3）因为，所以，
所以当，即时，取得最小值.
因为存在，使得不等式成立，所以，
即，解得，
故的取值范围是．
19. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.
（1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.
（2）对任意x，，函数，都满足.
①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.
②若，证明：当时，.
参考数据：，.
解：（1）由可得，
由可得，解得，
所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0，
（2）由可得对任意x，，恒成立，
所以存常数，使得,
令，则，且，
解得，
①，则，
由于是“缺陷偶函数”，故，
即，即，
则，得，
，
由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有两个极值点.
②若，即，则，故，
当时，要证，只需要证. ，
因为，故，
只需证，
令，
当单调递减，当单调递增，
故
，
所以，从而，故，
时，得证.