2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．1，2，3C．3，3，3D．4，5，6
3．（3分）六边形的内角和等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）将方程x2+2x﹣5＝0配方后，原方程变形为（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+1）2＝6D．（x﹣1）2＝6
6．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．﹣
7．（3分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2015年投入3千万元，预计2017年投入5千万元．设教育经费的年平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）2＝5B．3x2＝5
C．3（1+x%）2＝5D．3（1+x）+3（1+x）2＝5
8．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形
D．如果∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC是直角三角形
9．（3分）如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3＝⋯＝∠MAnAn+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A8的坐标为（ ）
A．（4，﹣6）B．（6，﹣8）C．（8，﹣8）D．（7，﹣6）
10．（3分）在△ABC中，∠A＝2∠B，若，AB＝4，则AC的长为（ ）
A．2.5B．4C．3D．2.7
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）计算：的结果是 ．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2024+a﹣b的值是 ．
14．（3分）已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ．
15．（3分）《九章算术》里讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，可列方程为 ．
16．（3分）已知△ABC中，中线AD＝1，AB+AC＝2.5，BC＝2，则△ABC的面积是 ．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：2x（x+3）＝x2+8x．
18．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形ABC．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0，
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，求m的值．
20．（8分）某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是55元时，销售量是50件，而单价每降低1元，就可以多售4件．请你帮助分析，销售单价下降多少元时，可以获利1800元？
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？
22．（10分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，对角线AC，BD相交于点O，且BD垂直平分AC，过A点作AE∥CD交BC点E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若BE＝2，，求EC的长度．
23．已知实数ab≠1且分别满足方程7a2+13a+1＝0和方程b2+13b+7＝0，则代数式的值为 ．
2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．＝2，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
2．【分析】根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．
【解答】解：A．∵52+122＝132，
∴可以构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+22≠32，
∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+32＝32，
∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵42+52≠62，
∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，熟知：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足a2+b2＝c2，则三角形是直角三角形是解决问题的关键．
3．【分析】根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，即可求得六边形的内角和．
【解答】解：六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°．
故选：D．
【点评】本题考查了对于多边形内角和定理的识记．
4．【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、3﹣＝2，故B不符合题意；
C、×＝，故C符合题意；
D、÷＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2+2x﹣5＝0，
x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．【分析】欲求x12x2+x1x22的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根
∴x1+x2＝3，x1•x2＝1，
又∵x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2），
将x1+x2＝3与x1•x2＝1代入得x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝1×3＝3．
故选：A．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
7．【分析】设教育经费的年平均增长率为x，根据某地2015年投入教育经费3千万元，预计2017年投入5千万元可列方程．
【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2016的教育经费为：3×（1+x）
2017的教育经费为：3×（1+x）2．
那么可得方程：3（1+x）2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
8．【分析】利用三角形内角和可对A、D选项进行判断；根据勾股定理的逆定理可对B、C选项进行判断．
【解答】解：A、因为∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，所以∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，所以A选项为真命题；
B、因为c2＝b2﹣a2，即c2+a2＝b2，则△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，所以B选项为假命题；
C、因为（c+a）（c﹣a）＝b2，即c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，所以C选项为真命题；
D、因为∠A：∠B：∠C＝5：2：3，所以∠A＝×180°＝90°，则△ABC是直角三角形，所以D选项为真命题．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9．【分析】根据图形可发现第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为 ，…，第n个等腰直角三角形的边长为 ，据此可推出结果．
【解答】解：∵M点的坐标是 （﹣1，2），A1 的坐标是（0，2），
∴MA1＝A1A2＝1，
∴A2（0，3），
∴，
∴MA3＝2，
∴根据图形可发现第一个等腰直角三角形的直角边为1，
第二个等腰直角三角形的边长为 ，…，
第 n个等腰直角三角形的边长为 ，
∴第7个等腰直角三角形的边长为 ，
∴由图可知MA7＝A7A8＝8，
∴A8（7，﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
10．【分析】作∠A的平分线交BC于D，根据角平分线的定义以及外角的性质可以判断△CAD和△CBA相似以及AD＝BD，然后根据比例关系求出AD的长，即可求出AC的长．
【解答】解：如图，作∠A的平分线交BC于D，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DAB＝∠CAD＝∠B，∠CDA＝2∠B＝∠CAB，
∴AD＝BD，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝＝，
∴AC＝＝，
设AD＝BD＝x，则CD＝﹣x，
∴＝，
解得：x＝或﹣（舍去），
∴AC＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，合理运用角平分线的定义以及外角的性质是本题解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3+x≥0，
∴x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．【分析】运用平方差公式进行计算二次根式的计算就可以得出结论．
【解答】解：原式＝7﹣2，
＝5．
故答案为：5
【点评】本题考查了运用平方差公式进行二次根式的计算，解答时观察算式的结构选择合适的方法是解答的关键．
13．【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，可以得到a﹣b的值，然后将所求式子变形，再将a﹣b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2021+a﹣b＝2024﹣1＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
14．【分析】由n为正整数，也是正整数，可知18﹣n是一个完全平方数，从而得出结果．
【解答】解：∵n是正整数，且也是正整数，
∴18﹣n是一个完全平方数，
∵18﹣n≥0，解得：n≤18，
∴0＜n≤18，
则18﹣n＝12，解得：n＝17，
或18﹣n＝22，解得：n＝14，
或18﹣n＝32，解得：n＝9，
或18﹣n＝42，解得：n＝2，
当18﹣n＝52时，解得：n＝﹣7，不符合n的范围．
故答案为：2或9或14或17（只填一个即可）．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数．
15．【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
16．【分析】由已知可知：A、B、C点在以点D为圆心、BC为直径的⊙D上，由“直径所对的圆周角是直角”可知∠BAC＝90°，由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2＝22＝4，从而由已知可得：AB•AC＝1.125，根据“直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半”可得结论．
【解答】解：在△ABC中，中线AD＝1，BC＝2，
∴AD＝BD＝CD＝1，
∴A、B、C点在以点D为圆心、BC为直径的⊙D上，
∴∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2＝22＝4，
∵AB+AC＝2.5，
∴（AB+AC）2＝2.52＝6.25，
∴AB2+2AB•AC+AC2＝6.25，
∴AB•AC＝＝1.125，
∴S△ABC＝AB•AC＝×1.125＝0.5625，
即△ABC的面积是0.5625．
故答案为：0.5625．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是确定△ABC为直角三角形．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．【分析】（1）先化简二次根式、计算乘法、去绝对值符号，再计算加减即可；
（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3+﹣1
＝﹣1；
（2）整理成一般式为x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．【分析】（1）根据要求作出三边为3，4，5的三角形即可（答案不唯一）．
（2）根据要求作出三边为3，3，3的三角形即可（答案不唯一）．
（3）根据要求作出三边为，2，5的三角形即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题作图﹣应用与设计作图，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．【分析】（1）由于方程有两个相等的实数根，所以可据根的判别式来确定m的值；
（2）根据根与系数的关系来确定m的值，最后要根据判别式来取舍m的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（m+2）＝m2﹣6m﹣7，
又∵方程有两个相等的实数根，
∴m2﹣6m﹣7＝0，解得m1＝﹣1，m2＝7；
（2）由题意可知，m+2＝m2﹣9m+2，
解得m1＝0，m2＝10，
∵当m＝0时，Δ＜0，此时原方程没有实数根，
∴m＝10．
【点评】总结：
1：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2：若一元二次方程有实根，则根与系数的关系为：x1+x2＝，x1•x2＝．
20．【分析】设销售单价下降x元，则每件的销售利润为（55﹣x﹣25）元，销售量是（50+4x）件，利用总利润＝每件的销售利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设销售单价下降x元，则每件的销售利润为（55﹣x﹣25）元，销售量是（50+4x）件，
根据题意得：（55﹣x﹣25）（50+4x）＝1800，
整理得：2x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝7.5．
答：当销售单价下降10元或7.5元时，可以获利1800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．【分析】（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm，根据△PBQ的面积等于8cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）假设△PDQ的面积能为8cm2，根据△PDQ的面积为8cm2，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣76＜0，可得出原方程无解，进而可得出假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm，
根据题意得：（6﹣t）•2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
答：经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下：
假设△PDQ的面积能为8cm2，则S△PDQ＝S长方形ABCD﹣S△APD﹣S△PBQ﹣S△CDQ，
即12×6﹣×12•t﹣（6﹣t）•2t﹣×6•（12﹣2t）＝8，
整理得：t2﹣6t+28＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0，
∴原方程无解，
∴假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换求出∠ABC＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出AB＝AE，根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BC，等量代换即可得解；
（2）过点A作AF⊥BE于点F，根据等腰三角形的性质求出BF＝EF＝1，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠DCB，
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，
∴AE＝BC；
（2）解：过点A作AF⊥BE于点F，
∵AB＝AE，
∴BF＝EF＝BE＝1，
在Rt△ABF和Rt△ACF中，
AB2﹣BF2＝AF2＝AC2﹣CF2，
∵AB＝AE＝BC＝2+CE，CF＝EF+CE＝1+CE，
∴（2+CE）2﹣12＝﹣（1+CE）2，
∴CE＝1（负值已舍），
∴EC的长度为1．
【点评】此题考查了勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
23．【分析】先由b2+13b+7＝0变形得到++1＝0，则可把a和看作方程7x2+13x+1＝0的两根，于是利用根与系数的关系得到a+＝﹣，a•＝，接着把化为a+3×+，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵b2+13b+7＝0，
∴b≠0，
∴++1＝0，
∵7a2+13a+1＝0，ab≠1，
∴a和可看作方程7x2+13x+1＝0的两根，
∴a+＝﹣，a•＝，
∴＝a+3×+＝﹣+＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解．