广东省广州市第六中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市第六中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案），共37页。
注意事项：
1．答题前，学生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名，班级和学生号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．学生必须保持答题卡的整洁，学生不可以使用计算器．
一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A B. C. D.
4. ⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O外C. 点P在⊙O上D. 无法确定
5. 如图，将正方形绕点A顺时针方向旋转后，点C坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 1或D. 0.5
7. 一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
8. 如图，是直径，，则（ ）
A. B. C. D.
9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 当时，y随x的增大而减小
C. 对称轴是直线D. 与坐标轴有两个交点
10. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A. 1B. 2﹣1C. D. ﹣1
二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
12 抛物线不经过第________象限．
13. 如图，四边形ABCD内接于，若四边形OBCD为平行四边形，则的度数是________．

14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出___________个小分支．
15. 一个圆锥的底面半径是2，母线长是6，若将该圆锥侧面沿着母线剪开得到一个扇形，则该扇形的圆心角的度数是____________．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60º，得到△ADE，连接BE，则BE的长是_________
三、解答题．（本小题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：．
18. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
19. 如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
20. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两实数根满足，求的值
22. 如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
23. 某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
24. 已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线交于点B．
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为．
①求抛物线的解析式；
②若当时，最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且，过点P作轴于D，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形的形状，并说明理由．
25. 问题探究
（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．
（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．

问题解决：
如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年上学期六中珠江中学初三级综合练习（二）
数学
本练习分选择题和非选择题两部分，共4页，25小题，满分120分．练习用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，学生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名，班级和学生号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．学生必须保持答题卡的整洁，学生不可以使用计算器．
一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：“一个图形绕一点旋转180度，能与自身完成重合，这样的图形叫做中心对称图形”，进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】
二次函数的图像的顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式的表达式中解出顶点坐标是解题的关键．
3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先移项把方程化为，再在方程的两边都加上1可得，从而可得答案．
【详解】解：，
移项得，
配方得，即，
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4. ⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O外C. 点P在⊙O上D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5，
∴点P到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
5. 如图，将正方形绕点A顺时针方向旋转后，点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转变换与中心对称；
首先由图形得出点A、C的坐标，然后根据旋转后的点C与原来的点C关于点A对称可得答案．
【详解】解：由图得：，，
∵将正方形绕点A顺时针方向旋转，
∴旋转后的点C与原来的点C关于点A对称，
∴旋转后点C的坐标是，
故选：B．
6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. B. 1C. 1或D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的定义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的定义进行作答即可．
【详解】解：因为x的一元二次方程的一个根是0，
所以把代入，
得，
解得，
因为，
即，
所以，
故选：A．
7. 一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
8. 如图，是的直径，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 当时，y随x的增大而减小
C. 对称轴是直线D. 与坐标轴有两个交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
根据二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：对于抛物线，
∵，
∴开口向上，A正确；
对称轴是直线，C正确；
当时，y随x的增大而增大，B错误；
当时，
解得，
∴抛物线与轴有一个交点，
又∵抛物线与轴有一个交点，
∴抛物线与坐标轴有两个交点，D正确；
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A. 1B. 2﹣1C. D. ﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】确定点C的运动路径是:以D为圆心,以为半径的圆,当O、C、D共线时, OC的长最小,先求D的半径为1 ,说明D是AB的中点, 根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=,所以OC的最小值是.
【详解】当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点, 是的中点，
当点P在线段AB上时, 是中点,取的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心,以D为半径的圆(CA: PA=1 : 2 ,则点C轨迹和点P轨迹相似,所以点C的轨迹就是圆) , 当O、C、D共线时, OC的长最小，设线段AB交B于Q，
中，OA=3,OB=3,
.
半径为2,
是的中点,
是的中点,
即半径为1,
故选D.
【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC最小时点C的位置是解题关键, 也是本题的难点
二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
12. 抛物线不经过第________象限．
【答案】四
【解析】
【分析】将抛物线的解析式变形为顶点式，画出其图象，观察图形即可得出结论．
【详解】解：抛物线化为顶点式
由抛物线的性质可知，其不经过第四象限．
故答案为四．
【点睛】本题考查二次函数的性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
13. 如图，四边形ABCD内接于，若四边形OBCD为平行四边形，则的度数是________．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据平行四边形的性质，圆周角定理列式计算即可．
【详解】解：四边形内接于，
，
四边形是平行四边形形，
，
由圆周角定理得，，
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出___________个小分支．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
所以每个支干长出6个小分支，
故答案为：6．
15. 一个圆锥的底面半径是2，母线长是6，若将该圆锥侧面沿着母线剪开得到一个扇形，则该扇形的圆心角的度数是____________．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的有关计算；设该圆锥展开后所得到的扇形的圆心角的度数是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到方程，解方程即可．
【详解】解：设该圆锥展开后所得到的扇形的圆心角的度数是，
根据题意得：，
解得：，
即该扇形的圆心角的度数是．
故答案为：．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60º，得到△ADE，连接BE，则BE长是_________
【答案】##
【解析】
【分析】首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后再根据勾股定理求解即可．
【详解】连接CE，设BE与AC相交于点F，如图所示．
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCA=∠BAC=45°．
∵AB=BC=，
∴AC==4．
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE．
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=CE=AE=4．
在△ABE与△CBE中，
∵，
∴△ABE≌△CBE（SSS），
∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°，
∴∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠AFB=∠AFE=90°．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF=AF2．
又在Rt△AFE中，
∠AEF=30°，∠AFE=90°，FEAF=2，
∴BE=BF+FE=．
故答案为：．
【点睛】本题是旋转综合题，解答此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用了等边三角形的判定与性质，全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用．
三、解答题．（本小题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
，
∴，
∴，
两边开平方，得
，
∴．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
18. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此残片所在圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【答案】（1）作图见解析；（2）圆的半径为13 cm．
【解析】
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，
以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
19. 如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得 ，即可求解．
【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD，
∴EB=DC；
（2）∵△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠ADC=115°，
∵∠DAE=50°，AD=AE，
∴ ，
∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．
【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，M（1，﹣2）
【解析】
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c可求出a、b、c的值，即可确定二次函数关系式；
（2）由对称可知，直线BC与直线x＝1的交点就是要求的点M，求出直线BC的关系式即可．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得，
，解得，，
∴抛物线的关系式为；
（2）抛物线的对称轴为，
∵点M在对称轴x＝1上，且△ACM的周长最短，
∴MC+MA最小，
∵点A、点B关于直线x＝1对称，
∴连接BC交直线x＝1于点M，此时MC+MA最小，
设直BC的关系式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得，，
∴直线BC的关系式为，
当x＝1时，，
∴点M（1，﹣2），
∴在抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ACM的周长最短，此时M（1，﹣2）．
【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两实数根满足，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k−1）2−4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2，再根据（x1−1）（x2−1）＝5得到k2−（2k−1）＋1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
【详解】解：（1）根据题意得△＝（2k−1）2−4k2＞0，
解得k＜；
（2）根据题意得x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2，
∵（x1−1）（x2−1）＝5，
∴x1x2−（x1＋x2）＋1＝5，
即k2−（2k−1）＋1＝5，
整理得k2−2k−3＝0，解得k1＝−1，k2＝3，
∵k＜，
∴k＝−1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了根的判别式．
22. 如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
【答案】(1)详见解析；（2）4
【解析】
【分析】（1）连结OD，由AD平分∠BAC，OA=OD，可证得∠ODA=∠DAE，由平行线的性质可得OD∥AE，再由DE⊥AC即可得OD⊥DE，即DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4．
【详解】（1）连结OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF=CF=3，
∴OF=，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE=OF=4．
23. 某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【解析】
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设，由题意有
，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．
．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
24. 已知抛物线顶点为P，与y轴交于点A，与直线交于点B．
（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为．
①求抛物线的解析式；
②若当时，的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）若点P在第一象限，且，过点P作轴于D，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）四边形是矩形,理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式求出系数b，再将B点的坐标代入解析式中求出系数c即可求出抛物线的解析式；
②根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，得出抛物线的最小值为2，再根据点B的坐标为，在抛物线上找到B点关于对称轴的对称点,m的取值范围就在与P点的横坐标之间；
（2）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，再求出C点坐标，接着求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据得出四边形OABC是矩形．
【小问1详解】
解：①∵抛物线的顶点P的横坐标为1，
∴，
解得：．
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为；
②由知，．
∴点关于对称轴的对称点的坐标为，如图1，
∵当时，的最小值为2，最大值为6，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，由，可得．
∵抛物线的顶点坐标为，
∴．
∴．
∴抛物线．
可得直线的解折式为．
∵点B是抛物线与直线的图象的交点，
令．
解得．
可得点B的坐标为．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解折式为．
将点的坐标代入，得．
则平移后的抛物线解析式为．
令，即．
解得．
依题意，点C的坐标为．
则．
则．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，与几何图形相结合的综合题，有较大难度，解题的关键在于熟悉一次函数与二次函数图象的性质，并能利用待定系数法求解析式，建立方程求交点坐标，同时注重点的坐标与线段长的互相转化．
25. 问题探究
（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．
（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．

问题解决：
如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】问题探究：（1）24；（2）存在，的最小值为；问题解决：存在，144
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2中，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题；
（3）如图3中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大．
【详解】解：（1）当时，面积的最大，
则面积的最大值是，
故答案为：24；
（2）如图中，连接，，，作于．设，
∵，，，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为1，
∵，
∴的最小值为；
（3）如图中，连接，，延长交的延长线于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将顺时针旋转得到，作的外接交于，
连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，
由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积的最大值
．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100