2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二上学期统练一数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高二上学期统练一数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，▵A′B′C′是水平放置的▵ABC的直观图，若B′C′=A′C′=1，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，则▵ABC的周长为( )
A. 1+ 2+ 3B. 4+2 2C. 2+ 2+ 6D. 2+2 2+2 3
2.下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是( )
A. B.
C. D.
3.“直线l与平面α平行”是“直线l与平面α内无数条直线都平行”的( )条件
A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
4.如图，AB为圆的直径，点C在圆上，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为( )
A. 50B. 100C. 248D. 168
6.如图，在正四面体ABCD中，点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为( )
A. 3 1326B. 1313C. −3 1326D. − 1313
7.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是( )
A. 7 2π24B. 7 3π24C. 7 2π12D. 7 3π12
8.一个高为3的直三棱柱容器内装有水，将侧面ABB1A1水平放置如图(1)，水面恰好经过棱AC，BC，A1C1，B1C1的中点，现将底面ABC水平放置如图(2)，则容器中水面的高度是( )．
A. 54B. 32C. 94D. 52
9.已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )．
A. 16πB. 20πC. 24πD. 25π
10.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2 2，点E为AB上的动点，则D1E+CE的最小值为( )
A. 5B. 15C. 2+2 2D. 17
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，过B1B的中点E 作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M ，交BC于N ，则MN与AC的数量关系是 ．
12.在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q是直线DD1上的两个动点.如果PQ=2，那么三棱锥P−BCQ的体积等于 ．
13.如图，线段AB，BD在平面α内，∠ABD=120∘，CA⊥α，且AB=1，BD=2，AC=3，则C，D两点间的距离为 ．
14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，PA⊥平面AC，E在线段BC上，在满足条件PE⊥DE的E点有两个时，a的取值范围是 ；E点有一个时a的值为 ．
15.如图，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BAD=120∘，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，G分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于4 6；
②截面是一个五边形；
③截面与四棱锥P−ABCD四条侧棱中的三条相交；
④截面在底面的投影面积为5 3．
其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图所示，已知点P是▱ABCD所在平面外一点，M，N，K分别AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD=l．
(1)求证：MN//平面PAD；
(2)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH//平面ABCD，并加以证明；
(3)求证：l//BC．
17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1．
(1)证明：A1C⊥平面C1BD；
(2)求异面直线D1A与BD所成的角．
18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，AA1=2AB，点A1在底面ABC的射影为BC的中点O，M为B1C1的中点．
(1)求证：A1M⊥A1B；
(2)设点P为底面ABC内(包括边界)的动点，且B1P//平面A1MC，若点P的轨迹长度为 2，求三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.D
6.A
7.B
8.C
9.B
10.D
11.MN=12AC
12.12
13.4
14.6,+∞ ； ； ；
；6
15.②③④
16.(1)取PD中点为F，连接AF,FN
在ΔPCD中，FN//DC,FN=12DC
在▱ABCD中，AM//CD,AM=12CD
所以AM//FN,AM=FN，即四边形AFNM为平行四边形
所以AF//NM，AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD
所以MN/​/平面PAD
(2)当H为PB中点时，平面KNH//平面ABCD
证明如下：
取PB的中点为H，连接KH,NH
在ΔPBC中，HN//BC，HN⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD
所以HN//平面ABCD，同理可证，KH//平面ABCD
又KH,HN⊂平面KNH，KH∩HN=H
所以平面KNH//平面ABCD
(3)∵BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⧸⊂平面PAD，∴BC//平面PAD
又∵平面PAD∩平面PBC=l，BC⊂平面PBC，∴BC//l

17.(1)证明：连接AC，交BD于点O，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又∵BD⊥AA1，A1A､AC⊂平面A1AC，A1A∩AC=A，
∴BD⊥平面AA1C，又∵A1C⊂平面AA1C，
∴A1C⊥BD；同理可证A1C⊥BC1，
又∵BC1､BD⊂平面BDC1，BC1∩BD=B，
∴A1C⊥平面C1BD．
(2)解：∵D1A//C1B，∴∠C1BD即为异面直线D1A与BD所成的角，
设正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为a，则易得C1B=BD=C1D= 2a，
∴▵C1BD为等边三角形，∴∠C1BD=π3，
故异面直线D1A与BD所成的角为π3．

18.(1)
在三棱柱ABC−A1B1C1中，连接AO，MO，A1O，A1C，
由AB=AC，O为BC的中点，得AO⊥BC，
又A1O⊥平面ABC，且AO,BC⊂平面ABC，则A1O⊥AO，A1O⊥BC，
由BC∩A1O=O，BC,A1O⊂平面A1BC，得AO⊥平面A1BC，
在▱BCC1B1中，O，M分别为BC，B1C1的中点，则OM//CC1，OM=CC1，
而AA1//CC1，AA1=CC1，则OM//AA1，OM=AA1，
即四边形AOMA1为平行四边形，则A1M//AO，
所以A1M⊥平面A1BC，因为A1B⊂平面A1BC，所以A1M⊥A1B；
(2)连接AB1，OB1，
由(1)知，A1M//AO，且A1M⊂平面A1MC，AO⊄平面A1MC，
则AO//平面A1MC，
在平行四边形BCC1B1中，O，M分别为BC，B1C1的中点，
则OC//MB1，OC=MB1，
所以四边形COB1M为平行四边形，则CM//OB1，
又CM⊂平面A1MC，OB1⊄平面A1MC，于是OB1//平面A1MC，
因为AO∩OB1=O，AO,OB1⊂平面AB1O，所以平面A1MC//平面AB1O，
又平面AB1O∩平面ABC=AO，则点P的轨迹为线段AO，即AO= 2，
由AB⊥AC，AB=AC，O为BC的中点，
得AB=AC=2，BC=2 2，AA1=2AB=4，
由(1)知AO⊥BC，A1O⊥BC，AO∩A1O=O，AO,A1O⊂平面AOMA1，
所以BC⊥平面AOMA1，
又OM⊂平面AOMA1，所以BC⊥OM，即BC⊥BB1，
所以四边形BCC1B1为矩形，则SBCC1B1=4×2 2=8 2，
在▵AA1B中，A1B=A1A=4，则AB边上的高ℎ= 42−12= 15，
可得SABB1A1=SACC1A1=2× 15=2 15，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积8 2+2×2 15=8 2+4 15．