高考数学二轮复习讲义练习专题2.4 基本不等式-重难点题型检测（教师版）

这是一份高考数学二轮复习讲义练习专题2.4 基本不等式-重难点题型检测（教师版），共13页。试卷主要包含了函数f=5x+20x的最小值为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022春•韩城市期末）函数f(x)=5x+20x(x＞0)的最小值为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【解题思路】利用基本不等式化简即可求解．
【解答过程】解：由题意f（x）＝5x+20x≥25x×20x=20，
当且仅当5x=20x，即x＝2时取等号，此时取得最小值为20，
故选：C．
2．（3分）（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥2C．x2+y2≥1D．x2+y2≤2
【解题思路】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答过程】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，即 14(x+y)2≤1，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B错，
对于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，
∴x2+y2≤2，故C错，D对，
故选：D．
3．（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．y=x+1xB．y＝x2﹣2x+4
C．y=x2+1x2D．y=x2+2+1x2+2
【解题思路】选项A，利用排除法，当x＜0时，y＜0；
选项B，由配方法，可得y≥3；
选项C，利用基本不等式，可得解；
选项D，采用换元法，令t=x2+2≥2，则y＝t+1t，再结合对勾函数的图象与性质，得解．
【解答过程】解：选项A，当x＜0时，y＜0，即A不符合题意；
选项B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合题意；
选项C，y＝x2+1x2≥2x2⋅1x2=2，当且仅当x2=1x2，即x＝±1时，等号成立，即C符合题意；
选项D，令t=x2+2≥2，则y＝t+1t在[2，+∞）上单调递增，
所以y≥2+12=322，当且仅当t=2时，等号成立，即D不符合题意．
故选：C．
4．（3分）（2022秋•哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则(a+1)(3b+1)ab的最小值为（ ）
A．93B．2C．62D．43
【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答过程】解：a＞0，b＞0，a+3b＝5，
则(a+1)(3b+1)ab=3ab+a+3b+1ab=3ab+6ab≥23ab⋅6ab=62，
当且仅当3ab=6ab且a+3b＝5，即a＝2，b＝1时取等号．
故选：C．
5．（3分）（2022秋•南关区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，则a+2b的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解题思路】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1，结合基本不等式求解即可．
【解答过程】解：∵正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，
∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1−1≥5+24(b+1)a+b⋅a+bb+1−1＝8，当且仅当a+b＝2（b+1）时等号成立，
故选：B．
6．（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．a+b2≥ab(a＞0，b＞0)
B．a2+b22≥ab(a＞0，b＞0)
C．a+b2≤a2+b22(a＞0，b＞0)
D．2aba+b≤ab(a＞0，b＞0)
【解题思路】利用数形结合计算出OF，OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF，可解．
【解答过程】解：由图形可知：OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF2=OC2+OF2=12(a2+b2)，
又CF≥OF，
∴12(a2+b2)≥12(a+b)，（a，b＞0），
故选：C．
7．（3分）（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1b＞t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．t≤1B．t＜1C．t≤2D．t＜2
【解题思路】利用“乘1法”，可得1a+1b＞1，从而得解．
【解答过程】解：1a+1b=14（a+b）（1a+1b）=14（2+ab+ba）≥14（2+2）＝1，当且仅当ab=ba，即a＝b＝2时，等号成立，
因为a≠b，所以1a+1b＞1，
又1a+1b＞t恒成立，所以t≤1．
故选：A．
8．（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．﹣8＜m＜1B．m＜﹣8或m＞1C．m＜﹣1或m＞8D．﹣1＜m＜8
【解题思路】根据题意，分析可得x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4++4yx+xy，由基本不等式的性质求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得m的取值范围．
【解答过程】解：根据题意，x＞0，y＞0，且2x+1y=1，
则x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4+4yx+xy≥4+24yx⋅xy=8，
当且仅当x＝2y＝4时等号成立，
即x+2y的最小值为8，
若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解可得﹣8＜m＜1．
即m的取值范围为（﹣8，1）．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（ ）
A．y＝x+1xB．y=x2+2x2+1
C．y＝x2+1x2D．y=x(4−x)
【解题思路】对于AD可以利用特殊值法判断；对于BC利用基本不等式判断即可．
【解答过程】解：对于A，当x＝﹣1时，y＝﹣2，A错误．
对于B，y=x2+2x2+1=x2+1+1x2+1=x2+1+1x2+1≥2(x2+1)⋅1x2+1=2，当且仅当x2+1=1x2+1，即x＝0时取得等号，B正确．
对于C，y＝x2+1x2≥2x2⋅1x2=2，当且仅当x2=1x2，即x＝±1时取得等号，C正确．
对于D，当x＝0时，很显然最小值不是2，D错误．
故选：BC．
10．（4分）（2021秋•建华区校级期中）若正数a，b满足a+b＝1，则13a+2+13b+2的可能取值为（ ）
A．67B．47C．27D．14
【解题思路】构造17×（3a+2+3b+2）×（13a+2+13b+2），运用1的巧妙代换，结合基本不等式求解．
【解答过程】解：∵a+b＝1，∴3a+2+3b+2＝7，
∴13a+2+13b+2=17×（3a+2+3b+2）×（13a+2+13b+2）=27+17(3b+23a+2+3a+23b+2)，
∵a，b都是正数，∴3b+23a+2＞0，3a+23b+2＞0，
由基本不等式可知3b+23a+2+3a+23b+2≥23b+23a+2⋅3a+23b+2=2，
∴13a+2+13b+2≥27+27=47，当且仅当a+b＝1，3b+23a+2=3a+23b+2时，即a＝b=12时，取等号．
∴13a+2+13b+2的最小值为47．
故选：AB．
11．（4分）（2021秋•烟台期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（ ）
A．xy的取值范围是[1，9]B．x+y的取值范围是[2，+∞）
C．x+4y的最小值是3D．x+2y的最小值是42−3
【解题思路】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，
所以x+y＝3﹣xy≥2xy，当且仅当x＝y＝1时取等号，
解得，0＜xy≤1，即0＜xy≤1，
所以xy的取值范围为（0，1]，A错误；
又xy＝3﹣（x+y）≤(x+y2)2，且仅当x＝y＝1时取等号，
解得，x+y≥2，故B正确，
又x+y＝3﹣xy＜3；
由x+y+xy﹣3＝0，得x=3−yy+1＞0，
所以0＜y＜3，1＜y+1＜4，
所以x+4y=3−yy+1+4y＝4（y+1）+4y+1−5＞3，此时等号无法取得，C错误；
x+2y=3−yy+1+2y＝2y−y+1−4y+1=2（y+1）+4y+1−3≥2(2y+2)⋅4y+1−3＝42−3，当且仅当2y+2=4y+1，即y=2−1时取等号，此时x+2y取得最小值42−3，D正确．
故选：AC．
12．（4分）（2021秋•呼兰区校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm−1≤x+2yxy对任意的x＞0，y＞0恒成立，则实数m的可能取值为（ ）
A．14B．98C．127D．2
【解题思路】先结合基本不等式求出x+2yxy的最小值，然后由不等式恒成立转化为mm−1≤（x+2yxy）min，解不等式可求m的范围，结合选项可判断．
【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且2x+y＝2，
所以x+2yxy=1y+2x=12（1y+2x）（2x+y）=12（5+2xy+2yx）≥12(5+22xy⋅2yx)=92，
当且仅当2xy=2yx且2x+y＝2，即x＝y=23时取等号，
若mm−1≤x+2yxy对任意的x＞0，y＞0恒成立，
则mm−1≤92，
整理得7m−9m−1≥0，
解得m≥97或m＜1，
结合选项可知，ACD符合题意．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知x＞2，x+ax−2（a＞0）最小值为3．则a＝ 14 ．
【解题思路】先变形得到x+ax−2=x﹣2+ax−2+2，再利用基本不等式求最值．
【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴x+ax−2=x﹣2+ax−2+2≥2a+2，
当且仅当x﹣2=ax−2，即x＝2+a时取等号，
∴x+ax−2（a＞0）最小值为2a+2，
∵x+ax−2（a＞0）最小值为3，
∴2a+2＝3，∴a=14，
故答案为：14．
14．（4分）（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 42−3 ．
【解题思路】利用已知关系式求出a=3−bb+1，则2a+b＝2×3−bb+1+b=6−2bb+1+b=8−2(b+1)b+1+b=8b+1+b﹣2=8b+1+b+1−3，然后利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：因为ab+a+b＝3，所以a=3−bb+1，
则2a+b＝2×3−bb+1+b=6−2bb+1+b=8−2(b+1)b+1+b
=8b+1+b﹣2=8b+1+b+1−3≥28b+1⋅(b+1)−3＝42−3，
当且仅当8b+1=b+1，即b＝22−1时取等号，此时最小值为42−3，
故答案为：42−3．
15．（4分）（2022•衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最 大 （大或小）值，为 254 ．
【解题思路】先设直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，然后结合基本不等式及三角形面积公式可求．
【解答过程】解：设两直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，
因为x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y=522时取等号，
故xy≤252，
故三角形面积S=12xy≤254．
故答案为：大；254．
16．（4分）（2022秋•余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x+1x≤−2；②若x∈R，则x2+2x2+1≥2；③若x∈R，则|x+1x|≥2；④若a＞0，则(1+a)(1+1a)≥4．其中正确的序号是 ①②④ ．
【解题思路】利用基本不等式逐个判断4个结论即可，注意“一正，二定，三相等”3个条件缺一不可．
【解答过程】解：对于①，若x＜0，则﹣x＞0，
∴x+1x=−（﹣x+1−x）≤﹣2−x⋅1−x=−2，当且仅当﹣x=1−x，即x＝﹣1时，等号成立，故①正确，
对于②，若x∈R，x2+2x2+1=(x2+1)2+1x2+1=x2+1+1x2+1≥2x2+1⋅1x2+1=2，当且仅当x2+1=1x2+1，即x＝0时，等号成立，故②正确，
对于③，当x＝0时，x+1x无意义，故③错误，
对于④，若a＞0，则（1+a）（1+1a）＝1+1a+a+1≥2a⋅1a+2＝4，当且仅当a=1a，即a＝1时，等号成立，故④正确，
所以正确的序号是①②④，
故答案为：①②④．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022•望花区校级开学）已知x∈（0，+∞）．
（1）求y=x+1x的值域；
（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及y取得最小值时x的值．
【解题思路】（1）由题意利用基本不等式即可求解．
（2）由已知可得y=x2+2x+3x=2+（x+3x），利用基本不等式即可求解．
【解答过程】解：（1）因为x∈（0，+∞），
所以y=x+1x≥2x⋅1x=2，
取等号条件：x=1x，x2＝1．
因为x∈（0，+∞），
所以x＝1，
所以函数y=x+1x的值域为[2，+∞）．
（2）y=x2+2x+3x=2+（x+3x），
因为x∈（0，+∞），
所以x+3x≥23，
所以y＝2+（x+3x）≥2+23，取等号条件：x=3x，x2＝3，
因为x∈（0，+∞），
所以x=3，当x=3时，该函数取最小值2+23．
18．（6分）（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求1a+2b的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
【解题思路】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；
（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b−12）2+92，再利用二次函数求最大值即可得出．
【解答过程】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，
∴1a+2b=12(a+2b)(1a+2b)=12(1+2ab+2ba+4)≥12(5+22ab⋅2ba)=92，
当且仅当2ab=2ba，即a＝b时等式成立，
∴1a+2b的最小值为92．
（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，
∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，
a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b−12）2+92，
当b=12时，a2+4b2+5ab有最大值为92．
19．（8分）（2022春•福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：
（1）4a+1b≥9；
（2）2a+1+2b+1≤22．
【解题思路】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可证明；
（2）利用基本不等式的结论(m+n2)2≤m2+n22即可证明．
【解答过程】证明：（1）因为a＞0，b＞0，a+b＝1，
所以4a+1b=（4a+1b）（a+b）＝5+4ba+ab≥5+24ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab且a+b＝1，即b=13，a=23时取等号，
故4a+1b≥9；
（2）因为（2a+1+2b+12）2≤2a+1+2b+12=2，当且仅当2a+1=2b+1且a+b＝1，即a＝b=12时取等号，
所以2a+1+2b+1≤22．
20．（8分）（2021秋•洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为18m，求1x+2y的最小值．
【解题思路】（1）由题意得，xy＝18，所用篱笆总长x+2y≥22xy，从而可求；
（2）由题意x+2y＝18，1x+2y=118（1x+2y）（x+2y）展开后利用基本不等式可求．
【解答过程】解：（1）由题意得，xy＝18，
则所用篱笆总长x+2y≥22xy=12，当且仅当x＝2y且xy＝18，即y＝3，x＝6时取等号，
此时所用篱笆总长最小；
（2）由题意x+2y＝18，
所以1x+2y=（1x+2y）（x+2y）×118=118（5+2yx+2xy）≥118（5+22yx⋅2xy）=12，
当且仅当2yx=2xy且x+2y＝18，即x＝y＝6时取等号，此时最小值为12．
21．（8分）（2022春•河南期末）观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足a+b＝1，求1a+2b的最小值．
解：∵a+b＝1，
∴1a+2b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，
当且仅当ba=2ab，结合a+b＝1得a=2−1，b=2−2时等号成立，
∴1a+2b的最小值为3+22．
请类比以上方法，解决下面问题：
（1）已知正实数x，y满足1x+1y=1，求x+4y的最小值；
（2）已知正实数x，y满足x+y＝1，求12x+1+2y+1的最小值．
【解题思路】（1）类比已知解题方法，将x+4y变为x+4y=(x+4y)(1x+1y)，展开后结合基本不等式，即可求得答案；
（2）将x+y＝1化为（2x+1）+（2y+2）＝5，将12x+1+2y+1变形为12x+1+42y+2，类比所给解题方法，结合基本不等式，求得答案．
【解答过程】解：（1）由正实数x，y满足1x+1y=1得：
x+4y=(x+4y)(1x+1y)=5+4yx+xy≥5+24yx⋅xy=9．
当且仅当4yx=xy，结合1x+1y=1得x=3，y=32时等号成立，∴x+4y的最小值为9．
（2）正实数x，y满足x+y＝1，得（2x+1）+（2y+2）＝5，
∴12x+1+2y+1=12x+1+42y+2=15((2x+1)+(2y+2))(12x+1+42y+2)
=1+15(2y+22x+1+4(2x+1)2y+2)≥1+252y+22x+1⋅4(2x+1)2y+2=95
当且仅当2y+22x+1=4(2x+1)2y+2，结合x+y＝1得x=13，y=23时等号成立，∴12x+1+2y+1的最小值为95．
22．（8分）（2022春•润州区校级月考）（1）已知x＞0，y＞0，且满足8x+1y=1．求x+2y的最小值；
（2）当0＜x＜14时，不等式1x+11−4x−m≥0恒成立，求实数m的最大值；
（3）已知a＞0，b＞0，求a2a+b+2b2b+a的最大值．
【解题思路】（1）由已知把x+2y变形为(x+2y)(8x+1y)，展开后用基本不等式求得最小值．
（2）分离参数化为m≤44x+11−4x恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解．
（3）令2a+b＝u，2b+a＝v，u，v＞0，可得a=2u−v3，b=2v−u3，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值．
【解答过程】解：（1）∵x＞0，y＞0，8x+1y=1，
∴x+2y=(8x+1y)（x+2y）＝10+xy+16yx≥10+2xy⋅16yx=18，
当且仅当8x+1y=1xy=16yx，即x=12y=3时，等号成立，
∴（x+2y）min＝18．
（2）不等式1x+11−4x−m≥0恒成立化为m≤44x+11−4x恒成立，
∵0＜x＜14，∴1﹣4x＞0，
∴44x+11−4x=(4x+1−4x)(44x+11−4x)=5+4x1−4x+4(1−4x)4x≥5+24x1−4x⋅4(1−4x)4x=5+4＝9，
当且仅当4x1−4x=4(1−4x)4x，即x=16时，等号成立，
∴m≤9，∴m的最大值为9．
（3）解：令2a+b＝u，2b+a＝v，u，v＞0，
可得a=2u−v3，b=2v−u3，
∴a2a+b+2b2b+a=1u⋅2u−v3+1v⋅2⋅2v−u3=2−(v3u+2u3v)≤2−2v3u⋅2u3v=2−223，
当且仅当v=2u，上式取得等号，可得a2a+b+2b2b+a的最大值为2−223．