2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(1,5,−1)，b=(−3,2,3)，则a−b=( )
A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)
2.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点N为BC中点，则MN等于( )
A. −23a+12b+12cB. 12a+12b−12c
C. 23a+23b−12cD. −23a+23b−12c
3.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )
A. 点P和点Q关于x轴对称B. 点P和点Q关于y轴对称
C. 点P和点Q关于z轴对称D. 点P和点Q关于原点中心对称
4.已知直线l的斜率的范围为[−1,1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘B. 45∘≤α≤135∘
C. 45∘0)相交，则r的取值范围为 ．
(3)加斯帕尔⋅蒙日是18∼19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C:x2a2+y29=1，若直线l:4x−3y+25=0上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 ．
(4)阅读材料：数轴上，方程Ax+B=0(A≠0)可以表示数轴上的点;平面直角坐标系xOy中，方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可以表示坐标平面内的直线;空间直角坐标系Oxyz中，方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是两平面2x−z+7=0与2x+2y−z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0．
(1)求顶点C的坐标;
(2)求直线BC的斜率．
15.(本小题12分)
已知圆M的方程为x2−8x+y2−8y−4=0．
(1)过点(0,−4)的直线m截圆M所得弦长为4 5，求直线m的方程;
(2)过直线l:x+y+4=0上任意一点P向圆M引切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PCD是边长为2的正三角形，∠BCD=60∘，平面PCD⊥平面ABCD．
(1)求证：PB⊥CD;
(2)求直线PB与平面APD所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知直线l与椭圆x26+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点坐标为M(23,13).
(1)求直线l的方程;
(2)求△OAB的面积．
18.(本小题12分)
如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB=FC=BC=1，AB=2，G是CF的中点．
(1)证明：BG//平面AEF;
(2)在棱CF(不包括端点)上是否存在点P，使得平面BDP与平面BCF的夹角为60∘?若存在，求CP的长度;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F2为右焦点.过F2的直线与椭圆交于MN，|MN|的最小值为 2，且椭圆上的点到F2的最小距离为 2−1．
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知椭圆E的右顶点为C，P是椭圆E上的动点(不与顶点重合).若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP与x轴交于点N.记直线QC的斜率为k，直线QN的斜率为k1，求k⋅k1的最小值．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.D
5.A
6.B
7.C
8.A
9.AC
10.BC
11.BCD
12.ACD
13.(1)x−y=0或x+y−2=0
(2)3