福建省莆田中山中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题（原卷版）

这是一份福建省莆田中山中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题（原卷版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x+2y＝1B. ax2+bx+c＝0C. 3x+＝4D. x2﹣2＝0
2. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B. C. D.
4. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如 图，D是的边上一点，已知，，若的面积为a， 则的面积为 （ ）
A. aB. C. D.
6. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A. 抛物线的顶点坐标为
B. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线
C. 若点，在抛物上，则
D. 当时，y随x的增大而增大
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得AB为，为，实地测得为．则井深为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
9. 如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ）

A. 第4张B. 第5张C. 第6张D. 第7张
10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（）
A. 一定有两个相等实根B. 一定有两个不相等实根
C. 有两个实根，但无法确定是否相等D. 无实根
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______．
12. 已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程的解是 _____．

13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是________
14. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度______．
15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．
16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．另一个二次函数的图象经过B、C、三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．则t的取值范围是______．
三．解答题（共9小题）
17. 解方程：．
18. 如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
19. 如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（1，0），B（5，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）此抛物线的顶点为P，求△PBC的面积．
20. 关于x的一元二次方程有两个实数根，，并且．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在m使得满足？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，若BC=5，AC=12，求BD长．
22. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元?
（3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
23. 阅读材料，并解决问题．
【学习研究】
我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】
参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】
小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即x（ ）；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;
第三步：因此，根据大正方形面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ；
【拓展应用】
一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ．
24. 如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
（1）求证：；
（2）探究与的关系：
当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，则的值是 ；
②当时，猜想值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）在图2中，过点F作，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使时，若，则的值是 ．（用含m，n的式子表示）
25. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．