福建省泉州第五中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

这是一份福建省泉州第五中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x+2≥x2}，B＝{x∈N*|﹣1＜x﹣2≤1}，则A∪B＝（ ）
A．（1，2]B．[﹣1，3]
C．{﹣1，0，1，2，3}D．{1，2，3}
2．（5分）设命题p：∀x＞0，3x＞2x，则￢p为（ ）
A．∃x＞0，3x≤2xB．∃x≤0，3x＞2x
C．∀x＞0，3x≤2xD．∀x≤0，3x≤2x
3．（5分）若2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b，则（ ）
A．a2＞b2B．a3＜b3C．D．a|a|＞b|b|
4．（5分）设x∈R，使得不等式x2﹣2x﹣8＜0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜4}B．{x|x＞﹣2}C．{x|2≤x≤3}D．{x|x＜4}
5．（5分）已知函数f（x）在上单调递增，且f（1﹣3x）＝f（3x），记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
6．（5分）设函数f（x）＝a﹣x﹣2（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则不等式f（1﹣m）＜f（m2﹣1）的解集为（ ）
A．（﹣2，1）B．（0，1）
C．（﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
7．（5分）已知关于x的方程x2﹣4x+a（2x﹣2+2﹣x+2）＝0有唯一实数解，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．C．D．2
8．（5分）已知a，b为正数，若∀x＞﹣b，有（x+b）x﹣a≥1，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．D．3+2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A．与表示同一函数
B．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有2个
C．对任意的实数x，不等式ax（x﹣1）＜1恒成立，则实数a的取值范围是（﹣4，0]
D．若不等式x2﹣tx+1＜0对一切x∈（1，2）恒成立，则实数t的取值范围为
（多选）10．（6分）已知a＞0，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．的最小值为1
C．D．
（多选）11．（6分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，则有（ ）
A．
B．存在非零实数a，b，使得
C．
D．若，且，则m＜1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）计算＝ ．
13．（5分）已知幂函数f（x）＝x3m﹣9（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则满足的a的取值范围为 ．
14．（5分）已知的最小值为2，则m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+5x+6＞0}，B＝，C＝{x|a≤x﹣1≤2a}．
（1）求A∩B，A∪（∁UB）；
（2）设p：x∈B，q：x∈C，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+2．
（1）若f（1）＝4，且a＞0，b＞0，求的最小值；
（2）若a+b＝﹣2，求关于x的不等式f（x）＞0的解集（结果用a表示）．
17．（15分）已知幂函数满足f（2）＜f（3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝nf（2x﹣1）+2x﹣5，，是否存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，若存在，求出实数n的值．
18．（17分）已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图像经过点．
（1）求实数a，b的值及f（x）的值域；
（2）解不等式f（x2+x）+f（x﹣3）＜0；
（3）若对任意t∈[1，3]恒有f（t2﹣kt）+f（t+k）≤0成立，求实数k的取值范围．
19．（17分）已知函数f（x）的定义域为A，g（x）的定义域为B，若对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f（x1）+g（x2）＝k（k为常数），则称f（x）与g（x）存在线性关系M（k），其中k为线性关系值．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1（﹣1≤x≤2）．
（1）若函数，判断f（x）与g（x）是否存在线性关系M（﹣6），并说明理由；
（2）若函数，且f（x）与g（x）存在线性关系M（k），求k的最大值；
（3）若函数g（x）＝（x+）+8（1≤x≤4），且f（x）与g（x）存在线性关系M（4），求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x+2≥x2}，B＝{x∈N*|﹣1＜x﹣2≤1}，则A∪B＝（ ）
A．（1，2]B．[﹣1，3]
C．{﹣1，0，1，2，3}D．{1，2，3}
【分析】先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x∈N*|x+2≥x2}＝{1，2}，
B＝{x∈N*|﹣1＜x﹣2≤1}＝{2，3}，
则A∪B＝{1，2，3}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）设命题p：∀x＞0，3x＞2x，则￢p为（ ）
A．∃x＞0，3x≤2xB．∃x≤0，3x＞2x
C．∀x＞0，3x≤2xD．∀x≤0，3x≤2x
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x＞0，3x≤2x，
故选：A．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
3．（5分）若2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b，则（ ）
A．a2＞b2B．a3＜b3C．D．a|a|＞b|b|
【分析】不等式化为2a﹣3﹣a＜2b﹣3﹣b，构造函数f（x）＝2x﹣3﹣x，判断f（x）是定义域R上的增函数，由此得出结论．
【解答】解：因为2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b，
所以2a﹣3﹣a＜2b﹣3﹣b，
设f（x）＝2x﹣3﹣x，
因为y＝2x是定义在R上的增函数，y＝3﹣x是定义在R上的减函数，
所以f（x）是定义在R上的增函数，
所以a＜b，a2＜b2不一定成立，如a＝﹣1，b＝0时，选项A错误；
a3＜b3成立，选项B正确；
＜不一定成立，如ab＝0时无意义，选项C错误；
a|a|＞b|b|不一定成立，如a＝0，b＝1时，选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了根据函数单调性判断大小的应用问题，是基础题．
4．（5分）设x∈R，使得不等式x2﹣2x﹣8＜0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．{x|﹣2＜x＜4}B．{x|x＞﹣2}C．{x|2≤x≤3}D．{x|x＜4}
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解．
【解答】解：由题意x2﹣2x﹣8＜0成立，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4，
对比选项可知不等式x2﹣2x﹣8＜0成立的一个充分不必要条件是{x|2≤x≤3}．
故选：C．
【点评】本题考查充分不必要条件，解一元二次不等式，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）在上单调递增，且f（1﹣3x）＝f（3x），记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
【分析】根据题意，分析函数的对称性，由此可得c＝f（）＝f（2﹣），结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（1﹣3x）＝f（3x），则有f（1﹣x）＝f（x），
则有c＝f（）＝f（1﹣），
又由函数f（x）在上单调递增，而＜＜1﹣＜，
则有f（）＜f（）＜f（1﹣），即c＞b＞a．
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性和对称性，注意分析函数的对称性，属于中档题．
6．（5分）设函数f（x）＝a﹣x﹣2（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则不等式f（1﹣m）＜f（m2﹣1）的解集为（ ）
A．（﹣2，1）B．（0，1）
C．（﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
【分析】判断函数f（x）是定义域R上的单调减函数，不等式可化为1﹣m＞m2﹣1，求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝a﹣x﹣2＝﹣2，函数图象过第二、三、四象限，
则0＜＜1，所以a＞1；
所以f（x）是定义域R上的单调减函数，
所以不等式f（1﹣m）＜f（m2﹣1）可化为1﹣m＞m2﹣1，
即m2+m﹣2＜0，解得﹣2＜m＜1，
所以不等式的解集为（﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是基础题．
7．（5分）已知关于x的方程x2﹣4x+a（2x﹣2+2﹣x+2）＝0有唯一实数解，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．C．D．2
【分析】通过构造函数，结合函数的性质，即可求解．
【解答】解：令f（x）＝x2﹣4x+a（2x﹣2+2﹣x+2），
设t＝x﹣2，
g（t）＝t2﹣4+a（2t+2﹣t），
g（t）的定义域为R，且满足g（﹣t）＝g（t），
故g（t）为偶函数，
关于x的方程x2﹣4x+a（2x﹣2+2﹣x+2）＝0有唯一实数解，
则g（t）图象关于y轴对称，
所以g（0）＝0，即﹣4+2a＝0，解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的应用，属于基础题．
8．（5分）已知a，b为正数，若∀x＞﹣b，有（x+b）x﹣a≥1，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．D．3+2
【分析】根据题意，得出a+b＝1，再利用基本不等式求出+的最小值．
【解答】解：因为∀x＞﹣b，有（x+b）x﹣a≥1，即（x+b）x﹣a≥（x+b）0，
又因为x+b＞0，当x+b＞1时，可得x﹣a≥0，即a≤1﹣b；当x+b＝1时，显然成立；
当0＜x+b＜1时，可得x﹣a≤0，即1﹣b≤a；
综上可得：1﹣b＝a，即a+b＝1，
因为a，b为正数，
所以+＝（+）（a+b）＝3++≥3+2＝3+2，
当且仅当a＝﹣1，b＝2﹣时取等号，选项B正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是基础题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A．与表示同一函数
B．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有2个
C．对任意的实数x，不等式ax（x﹣1）＜1恒成立，则实数a的取值范围是（﹣4，0]
D．若不等式x2﹣tx+1＜0对一切x∈（1，2）恒成立，则实数t的取值范围为
【分析】对于A，结合同一函数的定义，即可求解；对于B，结合函数的定义，即可求解；对于C，结合
【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R，故A错误；
函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B错误；
ax（x﹣1）＜1，即ax2﹣ax﹣1＜0，
当a＝0时，﹣1＜0，符合题意，
当a≠0时，，解得﹣4＜a＜0，
综上所述，实数a的取值范围是（﹣4，0]，故C正确；
不等式x2﹣tx+1＜0对一切x∈（1，2）恒成立，
则，x∈（1，2），
设g（x）＝x+，
g（x）在（1，2）上单调递增，
故，
所以实数t的取值范围为，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知a＞0，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．的最小值为1
C．D．
【分析】根据题意，利用基本不等式，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于A，a＞0，b＞0，a+b2＝1，所以1＝a+b2≥2b，即b≤，当且仅当b＝时取等号，选项A正确；
对于B，﹣a＝﹣（1﹣b2）＝+b2﹣1≥2﹣1＝1，当且仅当b＝1时取等号，又b＝1时a＝0，不满足题意，选项B错误；
对于C，＝a+2b+b2＝1+2b≤1+2×＝2，+b≤，当且仅当b＝时取等号，选项C错误；
对于D，因为（a+b）2≥4ab，所以a+b≥＝，
所以+＝+≥，当且仅当b＝1﹣b2时取等号，
因为0＜b＜1，所以1﹣b2+b＝﹣+≤，当且仅当b＝时取等号，
所以+≥≥＝，两次等号的条件一致时取等号，选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
（多选）11．（6分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，则有（ ）
A．
B．存在非零实数a，b，使得
C．
D．若，且，则m＜1
【分析】可令x＝y＝0，求得f（0）＝0，令x＝0，可得f（x）为奇函数，再令x＝，y＝，计算可判断A；令x＝，y＝，由奇偶性和单调性，可判断C；由奇偶性和单调性，可得a，b的方程，可判断B；
由f（）＝f（）﹣f（），运用裂项相消法，结合函数的奇偶性和单调性、不等式的性质，可判断D．
【解答】解：由定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，
当x＝y＝0时，f（0）﹣f（0）＝f（0），即有f（0）＝0，
令x＝0，可得f（0）﹣f（y）＝f（﹣y），即有f（﹣y）＝﹣f（y），则f（x）为奇函数，
则f（）+f（）＝f（）﹣f（﹣）＝f（）＝f（），故A正确；
设﹣1＜x1＜x2＜1，即有x1﹣x2＜0，x1x2＜1，即1﹣x1x2＞0，
+1＝＜0，
可得﹣1＜＜0，
由x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，可得f（）＜0，
f（x1）﹣f（x2）＝f（）＜0，即f（x1）＜f（x2），可得f（x）在（﹣1，1）递增，
则f（）+f（）＝f（）﹣f（﹣）＝f（）＝f（）＜f（），故C错误；
由f（a）+f（b）＝f（a）﹣f（﹣b）＝f（）＝f（），由f（x）在（﹣1，1）递增，可得＝，
即有a＝2+，当b∈（﹣1，1），a∈（﹣1，1），可得存在非零实数a，b，使得f（a）+f（b）＝f（），故B正确；
由f（）＝f（）＝f（）﹣f（），
可得m＝f（）+f（）+...+f（）＝f（）﹣f（）+f（）﹣f（）+...+f（）﹣f（）＝f（）﹣f（），
由f（﹣）＝﹣1，可得f（）＝1，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，可得当x∈（0，1）时，f（x）＞0，
即有m＝1﹣f（）＜1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性，以及裂项相消法和不等式的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）计算＝ ．
【分析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值．
【解答】解：
＝﹣﹣1+﹣（2﹣）
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．
13．（5分）已知幂函数f（x）＝x3m﹣9（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则满足的a的取值范围为 （﹣∞，﹣1）∪（，） ．
【分析】由题意可得3m﹣9＜0，且为偶数，m∈N*，求出m，再由偶函数与单调性解出即可．
【解答】解：∵幂函数y＝x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞） 上单调递减，
∴3m﹣9为负的偶数，∴m＝1，
不等式＜，＜，
∴a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0且3﹣2a＞0，求得＜a＜ 或a＜﹣1．
∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（，）．
【点评】本题考查了幂函数的奇偶性与单调性，不等式的解法，属于基础题．
14．（5分）已知的最小值为2，则m的取值范围为 [5，+∞） ．
【分析】先求出当x＞0时，f（x）的最小值，然后利用换元法结合一元二次函数求出当x≤0时的最小值，两者进行比较即可．
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝+≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2时，取等号，
当x≤0时，设t＝2x，则0＜t≤1，
则y＝（2x）2﹣4•2x+m＝t2﹣4t+m在0＜t≤1上为减函数，
则当t＝1时，取得最小值为1﹣4+m＝m﹣3，
要使f（x）的最小值为2，
则m﹣3≥2，得m≥5，
即实数m的取值范围是[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的表达式，利用基本不等式和一元二次函数的最值求出最小值进行比较是解决本题的关键，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+5x+6＞0}，B＝，C＝{x|a≤x﹣1≤2a}．
（1）求A∩B，A∪（∁UB）；
（2）设p：x∈B，q：x∈C，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先求出集合A，B，再结合集合的混合运算，即可求解；
（2）结合必要不充分条件的定义，并分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣x2+5x+6＞0}＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，
又B＝＝{x﹣2≤x≤5}，
所以∁UB＝{x|x＜﹣2或x＞5}，
故A∩B＝{x|﹣1＜x≤5}，
A∪（∁UB）＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}；
（2）因为x∈C是x∈B的充分不必要条件
故C是B的真子集，
又B＝{x|﹣2≤x≤5}，C≠∅，
当C≠∅，所以，解得0≤a≤2，
当C≠∅时，a+1＞2a+1，解得a＜0，
综上所述，a的取值范围为{a|a≤2}．
【点评】本题主要考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
16．（15分）已知函数f（x）＝ax2+bx+2．
（1）若f（1）＝4，且a＞0，b＞0，求的最小值；
（2）若a+b＝﹣2，求关于x的不等式f（x）＞0的解集（结果用a表示）．
【分析】（1）由f（1）＝4得a+b+1＝3，利用基本不等式即可求出的最小值；
（2）由b＝﹣a﹣2，不等式为ax2﹣（a+2）x+2＞0，讨论a的取值范围，即可求出不等式的解集．
【解答】解：（1）由f（1）＝a×12+b+2＝4，得a+b+1＝3，
又a＞0，b＞0，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为；
（2）因为f（x）＞0，b＝﹣a﹣2，
所以ax2﹣（a+2）x+2＞0，即（x﹣1）（ax﹣2）＞0．
当，即a＞2时，解得，或x＞1；
当，即a＝2时，解得x≠1；
当，即0＜a＜2时，解得x＜1或，
当a＝0时，解得x＜1，
当α＜0时，解得，
综上，a＞2时，解集为x＞1}；
a＝2时，解集为{x|x≠1}；
0＜a＜2时，解集为{x|x＜1或}；
a＝0时，解集为{x|x＜1}；
a＜0时，解集为．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．
17．（15分）已知幂函数满足f（2）＜f（3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝nf（2x﹣1）+2x﹣5，，是否存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，若存在，求出实数n的值．
【分析】（1）由幂函数的定义可求解m的值，再结合已知f（2）＜f（3）确定函数解析式即可；
（2）假设存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，即g（x）min＝﹣13，求出g（x）的解析式，利用换元法将g（x）＝n+2x﹣5转化为h（t）＝t2+nt﹣4，结合二次函数的图象，对n分类讨论，求出函数的最小值，从而可求解n的值．
【解答】解：（1）因为f（x）＝（m2﹣m+1）是幂函数，
所以有m2﹣m+1＝1，解得m＝0或m＝1，
当m＝0时，函数在区间（0，+∞）上是单调递减，不满足f（2）＜f（3），不符合题意；
当m＝1时，在区间（0，+∞）上是单调递增，满足f（2）＜f（3），符合题意，
所以（x≥0），
（2）假设存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，即g（x）min＝﹣13，
由（1）得g（x）＝nf（2x﹣1）+2x﹣5＝n+2x﹣5，
令，因为，所以4≤2x﹣1≤25，则，即2≤t≤5，此时2x＝t2+1，
所以g（x）＝n+2x﹣5可化为h（t）＝nt+t2+1﹣5＝t2+nt﹣4，此时g（x）min＝h（t）min，即h（t）min＝﹣13，
则h（t）的图象开口向上，对称轴为t＝﹣，
当﹣≤2，即n≥﹣4时，h（t）在[2，5]上单调递增，故h（t）min＝h（2）＝2n，
所以由h（x）min＝﹣13，得2n＝﹣13，即n＝﹣＜﹣4，不满足题意，舍去；
当，即﹣10＜n＜﹣4时，易知，
由，得n＝﹣6或n＝6（舍去），故n＝﹣6；
当，即n≤﹣10时，h（t）在[2，5]上单调递减，故h（t）min＝h（5）＝5n+21，
由5n+21＝﹣13，得，不满足题意，舍去；
综上：存在n＝﹣6使得g（x）的最小值为﹣13，故n＝﹣6．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图像经过点．
（1）求实数a，b的值及f（x）的值域；
（2）解不等式f（x2+x）+f（x﹣3）＜0；
（3）若对任意t∈[1，3]恒有f（t2﹣kt）+f（t+k）≤0成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）利用奇函数的定义及f（1）＝﹣，即可求解a，b的值，由指数函数的性质及不等式的性质即可求解函数的值域；
（2）利用单调性的定义判断f（x）的单调性，结合函数的奇偶性将不等式合理转化，求解即可；
（3）利用函数的单调性与奇偶性将不等式转化为k（t﹣1）≤t2+t，当t＝1时，成立，当t∈（1，3]时，参变量分离可得，利用换元法及对勾函数的单调性求出，的最小值，即可求解k的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
即，
化简可得（ab+1）22x+2（a+b）2x+ab+1＝0，
∴，解得或，
，∴，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴，
∵2x＞0，∴2x+1＞1，0＜＜1，
∴﹣1＜﹣1+＜1，
∴f（x）的值域为（﹣1，1）．
（2）由（1）得，
设x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
则，
∵，
又∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上单调递减．
由题意知：f（x）在R上单调递减且为奇函数，
∴f（x2+x）+f（x﹣3）＜0等价于f（x2+x）＜﹣f（x﹣3）＝f（3﹣x），
∴x2+x＞3﹣x，解得x＜﹣3或x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．
（3）由上可知：f（x）在R上单调递减且为奇函数，
∴f（t2﹣kt）+f（t+k）≤0，
即f（t2﹣kt）≤﹣f（t+k）＝f（﹣t﹣k），
即t2﹣kt≥﹣t﹣k，
化简得k（t﹣1）≤t2+t，
又∵t∈[1，3]，
当t＝1时，对0≤2恒成立，
当t∈（1，3]时，，
令，
令m＝t﹣1，则m∈（0，2]，
则，m∈（0，2]，
由对勾函数的性质知：h（m）在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，即k的取值范围是（﹣∞，3+2]．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（17分）已知函数f（x）的定义域为A，g（x）的定义域为B，若对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f（x1）+g（x2）＝k（k为常数），则称f（x）与g（x）存在线性关系M（k），其中k为线性关系值．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1（﹣1≤x≤2）．
（1）若函数，判断f（x）与g（x）是否存在线性关系M（﹣6），并说明理由；
（2）若函数，且f（x）与g（x）存在线性关系M（k），求k的最大值；
（3）若函数g（x）＝（x+）+8（1≤x≤4），且f（x）与g（x）存在线性关系M（4），求a的取值范围．
【分析】（1）反证法，假设f（x）与g（x）存在线性关系M（﹣6），据此求出f（x）的值域P，g（x）的值域Q，根据P，Q间的关系判断；
（2）根据f（x）与g（x）存在线性关系M（k）的定义，结合函数的单调性、值域构造出不等式（组）求解，解决即可；
（3）基本思路同（2），求出f（x）和g（x）对应的值域，根据两函数存在线性关系的定义，构造出a的不等式组求解．
【解答】解：（1）f（x）与g（x）不存在线性关系M（﹣6），理由如下：
假设f（x）与g（x）存在线性关系M（﹣6），
则对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[1，3]，使得f（x1）+g（x2）＝﹣6，
即f（x1）＝﹣6﹣g（x2），
设f（x）在[﹣1，2]上的值域为集合P，﹣6﹣g（x）在[1，4]上的值域为集合Q，则P⊆Q，
∵f（x）＝（x﹣1）2﹣2，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣2，f（x）max＝f（﹣1）＝2，所以P＝[﹣2，2]，
又 在[1，2]上递减，在[2，4]上递增，值域为[4，5]，
∴在[1，4]上值域为[﹣2，﹣1]，
∴﹣6﹣g（x）∈[﹣2，﹣1]，即Q＝[﹣2，﹣1]，
∵不满足P⊆Q，∴假设错误，即f（x）与g（x）不存在线性关系M（﹣6）；
（2）∵f（x）与g（x）存在线性关系M（k），
则对任意的x1∈[﹣1，2]，存在，使得f（x1）+g（x2）＝k，
由（1）知：f（x）在[﹣1，2]上的值域P＝[﹣2，2]，
设k﹣g（x）在上的值域为集合N，则P⊆N；
又在上单调递减，在，上单调递增，
∴k﹣g（x）∈[k﹣7，k﹣1]，即N＝[k﹣7，k﹣1]，
∵P⊆N，，
解得：3≤k≤5，∴k的最大值为5；
（3）∵f（x）与g（x）存在线性关系M（4），
则对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[1，4]，使得f（x1）+g（x2）＝4，
由（1）知：f（x）在[﹣1，2]上的值域为集合P＝[﹣2，2]，
若4﹣g（x）在[1，4]上的值域为T，则P⊆T；
4﹣g（x）＝﹣x2+a（x+）﹣﹣4＝﹣（x+）2+a（x+）+4，
令，∵在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
又x＝1时，t＝5；x＝4时，t＝5；x＝2时，t＝4，∴t∈[4，5]，
令，则h（t）为开口方向向下，对称轴为 的抛物线，
①当 ，即a≤8时，h（t）在[4，5]上单调递减，
∴，，即，
∵P⊆T，，又a≤8，解得：a≤﹣28；
②当 即a≥10时，h（t）在[4，5]上单调递增，
∴，，
∴T＝[﹣12﹣，﹣21+]，
∵P⊆T⇒，
又a≥10，解得：a≥46；③当，即8＜a＜10时，h（t）在上单调递增，在上单调递减，
∴，
当8＜a＜10时，，
此时P⊆T不成立，不合题意；
综上所述：a的取值范围为（﹣∞，﹣28]∪[46，+∞）．
【点评】本题考查新定义问题以及函数的单调性、值域求法等，属于中档题．