新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷(含答案)

这是一份新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
2．过点引直线,使,两点到直线的距离相等,则这条直线的方程是( )
A.B.
C.或D.或
3．若直线是双曲线的一条渐近线,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
4．若椭圆与双曲线有相同的焦点,则( )
A.B.1或2C.1或D.1
5．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.已知一束平行于x轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为,则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( )
A.B.C.D.
6．已知圆,直线则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( )
A.5B.C.10D.
7．若椭圆的左、右焦点分别为、,点P为椭圆C上一动点,则下列说法中不正确的是( )
A.当点P不在x轴上时,的周长是6
B.当点P不在x轴上时,面积的最大值为
C.存在点P,使
D.的取值范围是
8．已知,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点,点C在x轴上,,平分,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
B.直线必过定点
C.经过点,倾斜角为的直线方程为
D.过,两点的所有直线的方程为
10．已知曲线C的方程为,则( )
A.曲线C可以表示圆B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆
C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线
11．已知抛物线,过C的焦点F作直线,若C与l交于A,B两点,,则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.或
D.线段中点的横坐标为
三、填空题
12．与直线平行,并且到它的距离等于3的直线方程是____________.
13．若抛物线上一点与焦点的距离等于10,则该点与焦点所在直线的斜率为_______________.
14．已知椭圆的两个焦点为,,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,的面积,则C的离心率的取值范围为________________.
四、解答题
15．已知点与直线,圆
(1)一条光线从点P射出,经直线l反射后,通过点,求反射光线所在的直线方程;
(2)过P点作圆的切线,求切线方程.
16．已知椭圆的一个顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点能否作一条直线l,使直线l与椭圆交于A,B两点,且使得M是线段的中点,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.
17．已知线段的端点,端点N在圆上运动,线段的中点的轨迹方程为E.
(1)求轨迹方程E;
(2)过点的直线l与曲线E交于P,Q两点,若,其中O为坐标原点,求.
18．已知直线l与抛物线相切,且切点为.
(1)求直线l的斜率的值;
(2)如图,M,N是x轴上两个不同的动点,且满足,直线,与抛物线E的另一个交点分别是P,Q,若直线的斜率为定值,求出定值,若不是请说明理由
19．设椭圆的上焦点为F,椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为,最小值为.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过点F作两条相互垂直的直线,分别与椭圆E交于P,Q和M,N,求四边形PMQN的面积的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：,此时焦点在纵轴上,为.
故选：D.
2．答案：D
解析：若过P的直线与平行,因为,
故直线l的方程为：即.
若过P的直线过的中点,因为的中点为,此时,
故直线l的方程为：即.
故选：D.
3．答案：D
解析：因为双曲线的焦点在y轴上,且直线即为,
由双曲线的渐近线方程是,所以,即,
所以离心率.
故选：D.
4．答案：D
解析：双曲线的焦点在x轴上,依题意,,即,
又,解得,
所以.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为点在抛物线上,所以,解得,
所以抛物线的方程为,则焦点为,
又因为反射光线经过点及焦点,,
所以反射光线的方程为,
联立抛物线方程得,解得或,
所以反射光线与抛物线的交点为,
由两点间距离公式可得,
所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.
故选：C.
6．答案：C
解析：由,
,即l过定点,
由得,半径,
则当时,C到l的距离最远,此时l被圆C截得的弦长最小,
最小值为.
故选：C.
7．答案：C
解析：由椭圆方程可知,,从而.
对于选项A;根据椭圆定义,,又,所以的周长是,故选项A正确;
对于选项B：设点,因为,则.
因为,则面积的最大值为,故选项B正确;
对于选项C：由椭圆性质可知,当点P为椭圆C短轴的一个端点时,为最大.
此时,,又,
则为正三角形,,
所以不存在点P,使,故选项C错误;
对于选项D：由椭圆的性质可知,当点P为椭圆C的右顶点时,取最大值,此时;
当点P为椭圆C的左顶点时,取最小值,此时,所以,故选项D正确.
故选：C.
8．答案：A
解析：
因为,所以,
设,则,设,则,.
因为平分,由角平分线定理可知,,
所以,所以,
由双曲线定义知,即,,①
又由得,
所以,即是等边三角形,
所以.
在中,由余弦定理知,
即,化简得,
把①代入上式得,所以离心率为.
故选：A.
9．答案：BD
解析：对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时,直线过原点,
可设直线方程为,又直线过点,则,即,
此时直线方程为,满足题意,所以A错误;
对于B中：直线可化为,
由方程组,解得,,
即直线必过定点,所以B正确;
对于C中,当倾斜角时,此时直线的斜率不存在,无意义,所以C错误;
对于D中,由两点,,
当时,此时过,两点的所有直线的方程为,
即,
当时,此时过,两点的所有直线的方程为或,适合上式,
所以过,两点的所有直线的方程为,所以D正确.
故选：BD.
10．答案：CD
解析：若曲线C表示圆,则,解得,则曲线C的方程为,无意义,A不正确;
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则,不等式无解,B不正确;
若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则,解得,C正确;
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则解得,D正确.
故选：CD.
11．答案：ABD
解析：抛物线的焦点F在x轴上,
过F作直线,可知,则,得,A选项正确;
抛物线方程为,直线l的方程代入抛物线方程,得.
设,,由韦达定理有,,
,得,解得,或,,
,则或,C选项错误;
则,,线段中点的横坐标为,D选项正确;
,,B选项正确.
故选：ABD.
12．答案：或
解析：设所求直线方程为,
由 ,得或-20,
故答案为：或.
13．答案：
解析：设抛物线的焦点为F,P为抛物线上与点F的距离等于10的点,
过P作准线的垂线,垂足为Q,过F作,K为垂足,
所以,,
所以,则,
设直线的倾斜角为,则或,
故所求直线的斜率为,
故答案为：.
14．答案：
解析：连接,,由题意得,,,
又,所以四边形为矩形,故,
所以,故,
又,由勾股定理得,
即,,
故,即,故,
解得,
又C上存在关于坐标原点对称的两点P,Q,使得,故,
所以,即,所以,,解得,
综上,C的离心率的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1）设点P关于直线的对称点坐标为,
则有,解得,即,
直线的方程为：,即,
因反射光线过点,而反射光线所在直线过点,
所以反射光线所在直线方程为.
(2）圆即圆的圆心为,半径为,
过点且斜率不存在的直线为,显然到直线的距离,故满足题意;
设过点且斜率存在的直线的直线与圆相切,
则,解得,此时所求直线为,即;
综上所述,满足题意的切线方程为或.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)椭圆C的顶点为,,
又,,
,
椭圆C的方程为：.
(2）当过点M的直线斜率不存在时,显然不成立,
设直线的斜率为k,则其方程为：,如图,
联立方程组,消去y并整理,
得：,
由M在椭圆内部可知,方程有两不等实根,
设,,
,且点是线段的中点,
,,
故存在这样的直线,方程为：,即,
17．答案：(1)
(2)
解析：(1）设的中点为,
的中点为,且
,即
点N在圆上
即
化简得：
所以E的轨迹方程为：
(2）设,
由直线l过点且与圆E有两个交点,所以直线l的斜率存在且不为0
设直线l的方程为：
联立直线l与圆E的方程：
得：
解得：
,
由得：
即
化简得：
将韦达定理代入得：
解得：,符合题意
此时直线l的方程为：
由圆E的方程知,圆E的圆心坐标为,半径为
在直线l的方程中,当时,,即直线l过圆心
所以.
18．答案：(1)
(2)是,
解析：(1)显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,
与联立,消去x整理得,
令,即,解得
(2)由题意知,两直线,的斜率互为相反数,
设直线的方程为,与联立,消去x整理得,
所以,得,从而,
将t换成,同理可得,所以
19．答案：(1);
(2)2.
解析：(1)设椭圆E的焦距为,
则有,解得,,
因此,椭圆E的方程为;
(2)如下图所示,椭圆E的上焦点为.
①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时,则,,
此时,四边形PMQN的面积为;
②当直线PQ、MN的斜率都存在时,设直线PQ的方程为,则直线MN的方程为,
设点、,
将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立,消去y得,
,由韦达定理可得,,
,
同理可得,
所以,四边形PMQN的面积为,
令,则,
所以,
,所以,,由二次函数的基本性质可知,当,
所以,.
综上所述,四边形PMQN的面积的最大值为2.