天津市西青区2024−2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份天津市西青区2024−2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2，则c的值为（ ）
A．9B．11或C．D．9或
2．已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点（点，异于椭圆长轴端点），则的周长为（ ）
A．10B．20C．8D．16
4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）

A．1B．－1C．D．
6．已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为
A． B． C． D．
7．从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．若圆上恰有个不同的点到直线的距离为，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标
11．直线与，若，则实数 ．
12．当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为 .
13．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为
14．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 .
15．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 .
三、解答题（本大题共5小题）
16．已知方程：，
(1)若方程C表示圆，求实数m的范围；
(2)在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值.
17．如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形PDCE为矩形.

(1)若是的中点，求证：平面
(2)若是的中点，求点到直线的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.
19．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.
(1)求证：平面.
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(3)若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
20．已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点．
①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标；
②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】解：直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2，
，解得：c=11或c=-9.
故选B.
2．【答案】A
【详解】因为，所以，
又，所以，解得，
故选：A.
3．【答案】B
【解析】由椭圆定义得的周长为可得答案.
【详解】由已知，，由椭圆定义得，，
的周长为，
故选：B.
4．【答案】B
【详解】由表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得.
故选：B
5．【答案】A
【详解】，所以．
故选：A．
6．【答案】D
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，表示出相应向量，从而得到平面的法向量，利用空间向量表示出点到平面的距离，得到答案.
【详解】因为三棱锥中，,,两两垂直，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，即，
取，得，
所以点到平面的距离为：
故选：D.
【点睛】本题考查利用空间向量求点到平面的距离，属于简单题.
7．【答案】B
【分析】先求出点关于直线的对称点 ，再结合D在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解．
【详解】设点关于直线的对称点为，
则 ，解得 ，
由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点，
则 ，即反射光线所在直线的斜率为，
故选：B﹒
8．【答案】C
【详解】由圆，整理为，
所以圆心坐标为，半径为，设圆心到直线的距离为，
要求圆上恰有个不同的点到直线的距离为，
则，得到，即，
又，所以，
故选：C．
9．【答案】B
【详解】设则，所以
由于，所以为锐角，故，
在中，由余弦定理得，
因此,故为直角三角形，
所以，
由的周长为，
所以故，
故选：B
10．【答案】
【详解】空间向量，
则，，
则向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
11．【答案】或
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得或.
故答案为：或
12．【答案】
【分析】设点，利用相关点法求点的轨迹方程.
【详解】设点，因M是线段的中点，则点，
可得，即，
所以点M的轨迹方程为.
故答案为：.
13．【答案】或.
【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，当直线斜率不存在时直线符合题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径求出直线斜率即可.
【详解】由圆的方程，得，
则圆心坐标为，半径为，
当直线的斜率不存在时，直线：，与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线：，即，
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，
即，解得，所以：；
综上，直线的方程为或.
故答案为：或.
14．【答案】
【详解】由题意，，中点坐标
故的垂直平分线斜率为，方程为：，即
联立，可得圆心
半径
故圆的方程为
故答案为：
15．【答案】
【详解】设直线：，半圆：，
则表示半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于，
即，解得，
所以实数的最大值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若方程表示圆，
则，所以，
所以方程C表示圆，实数m的范围是；
（2）圆的方程可化为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
解得，满足，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）如图，设，连接，
因为四边形为矩形，所以是中点，又是的中点，所以，
又面，面，所以平面.
（2）如图，取中点，过作于，连接，
因为面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，又，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，故点到直线的距离为，
因为，四边形为矩形，是的中点，
由，即，得到，
又，所以.
（3）由（2）知，可建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，由，得到，
取，得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则.
18．【答案】（1）；（2）1，.
【分析】（1）由顶点坐标、离心率以及椭圆参数的关系即可求椭圆方程；
（2）由直线与椭圆关系，联立方程应用韦达定理得到交点横坐标数量关系，再利用弦长公式及点线距离公式表示出的面积，然后利用基本不等式即可求出三角形面积的最值及此时的直线方程.
【详解】（1）由题意得，
解得，
∴
所以椭圆C的方程为.
（2）由得，.
设，，则，，
∴，
又点到直线的距离为.
所以的面积为，
当且仅当即时，的面积有最大值为1，
此时直线的方程为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，按照空间向量坐标运算证明即可；
（2）分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的关系可求得二面角的平面角的余弦；
（3）根据点在棱上（不与点，重合），设比例系数，可得的坐标，假设直线能与平面垂直得向量关系为，根据坐标判断是否可得的值，从而判断假设是否成立.
【详解】（1）解：因为平面，所以，又
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，平面
所以平面.
（2）解：由（1）知是平面的一个法向量.
，.
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，则，，
所以，
所以.
又由图可知二面角的平面角为锐角
所以二面角的平面角的余弦值为.
（3）解：由（1）得，，，.
设，则，
可得，所以.
由（2）知是平面的一个法向量.
若平面，可得
则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直.
20．【答案】(1)；
(2)①；②证明见解析，.
【详解】（1）由题意得，又，解得，
得椭圆的标准方程为．
（2）①由（1）可得，点（）在椭圆上，代入椭圆方程得，
连接，∵，
，
，∴，
∴直线的方程为，联立，
解得或（舍去），
．
②设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又，，直线的方程为，
由，解得，
∴，
由，得，
，
则，∴，
则，
，
依题意,不重合，∴，即，
∴，
直线的方程为，
令，即，解得，
，
，
为定值．