云南省楚雄州楚雄市楚雄天人中学2024-2025学年上学期七年级期末模拟考试数学试题

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一．选择题（共16小题）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（ ）
A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元
【答案】B
【分析】根据正负数的意义，直接写出答案即可．
【解答】解：如果“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作﹣40元．
故选：B．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．
2．2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．−12024
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【考点】相反数．
【专题】实数；推理能力．【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
3．下列化简正确的是（ ）
A．+（﹣2）＝2 B．﹣（﹣3）＝3 C．+（+3）＝﹣3 D．﹣（+2）＝2
【答案】B
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：A、+（﹣2）＝﹣2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、﹣（﹣3）＝3，原计算正确，故此选项符合题意；
C、+（+3）＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、﹣（+2）＝﹣2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【点评】此题主要考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
4．下列四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．2 B．−13 C．0 D．﹣3
【答案】D
【分析】分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项．
【解答】解：A、|2|＝2；B、|−13|=13；C、|0|＝0；D、|﹣3|＝3；
∵0＜13＜2＜3，
∴四个数中绝对值最大的是﹣3．
故选：D．
【考点】绝对值．
【专题】绝对值．
【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5．2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．0.38×106 B．3.8×105 C．38×104 D．3.8×106
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：380000＝3.8×105．
故选：B．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．下列去括号变形正确的是（ ）
A．a+（b﹣c）＝ab﹣c
B．3a﹣（b+c﹣d）＝3a﹣b+c﹣d
C．m+4（p+q）＝m+4p+q
D．12（﹣x+4y﹣6z）=−12x+2y﹣3z
【答案】D
【分析】直接利用去括号法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故此选项错误；
B、3a﹣（b+c﹣d）＝3a﹣b﹣c+d，故此选项错误；
C、m+4（p+q）＝m+4p+4q，故此选项错误；
D、12（﹣x+4y﹣6z）=−12x+2y﹣3z，正确．
故选：D．
【考点】去括号与添括号．
【专题】常规题型．
【点评】此题主要考查了去括号法则，正确掌握运算法则是解题关键．
7．运用等式性质的变形，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
B．如果ac=bc，那么a＝b
C．如果a＝b，那么ac=bc
D．如果a＝3，那么a2＝3a2
【答案】B
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解答】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c＝b+c，所以A不成立；
B、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a＝b，所以B成立；
C、不成立，因为c必需不为0；
D、因为a2＝9，3a2＝27，所以a2≠3a2；
故选：B．
【考点】等式的性质．
【专题】应用意识．
【点评】主要考查了等式的基本性质．
等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
8．下列各题正确的是（ ）
A．由7x＝4x﹣3移项得7x﹣4x＝3
B．由2x−13=1+x−32去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3）
C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1
D．由2（x+1）＝x+7去括号、移项、合并同类项得x＝5
【答案】D
【分析】根据解一元一次方程的步骤计算，并判断．
【解答】解：A、由7x＝4x﹣3移项得7x﹣4x＝﹣3，故错误；
B、由2x−13=1+x−32去分母得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故错误；
C、由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x+9＝1，故错误；
D、正确．
故选：D．
【考点】解一元一次方程；整式的加减．
【专题】运算能力．
【点评】此题主要考查一元一次方程的解法，注意移项要变号，但没移的不变；去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是“﹣”号的，括号里各项都要变号．
9．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
10．单项式−2xy23的系数和次数分别是（ ）
A．−23，2 B．−23，3 C．23，3 D．﹣2，2
【答案】B
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式−2xy23的系数和次数分别是−23，3．
故选：B．
【考点】单项式．
【专题】单项式的系数和次数．
【点评】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
11．南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．有 B．事 C．竟 D．成
【答案】C
【分析】先确定与“志”相邻的四个面，从而可得相对面．
【解答】解：在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是“竟”，
故选：C．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的问题，能确定与“志”相邻的四个面是解题的关键．
12．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】应用题．
【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．
13．商店各以400元的价格出售了两副耳机，一副赚了25%，另一副亏了20%，那么商店的盈亏情况是（ ）
A．亏80元 B．赚20元 C．亏20元 D．不亏不赚
【答案】C
【分析】根据题意，分别设耳机原价为x元，y元，然后分别列出关于x，y的一元一次方程，然后求出原价，再求出各自的盈亏数，最后相见即可求出答案．
【解答】解：设第一副耳机原价为x元，一台赚25%，
则x（1+25%）＝400，
解得x＝320，赚了400﹣320＝80元．
设第一副耳机原价为y元，第二台亏20%，
则y（1﹣20%）＝400，
解得x＝500，亏了500﹣400＝100元．
80﹣100＝﹣20，
所以亏20元，
故选：C．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【点评】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，以及百分数的应用，有理数减法的应用，能列出方程是解题的关键．
14．如图，用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3枝火柴棒，搭2个三角形需5枝火柴棒，搭3个三角形需7枝火柴棒，照这样的规律搭下去，搭2020个三角形需要火柴棒（ ）
A．4041 B．6060 C．4040 D．6042
【答案】A
【分析】此题关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．
【解答】解：一个三角形需要3根火柴；
二个三角形需要（3+2）根火柴；
3个三角形需要（3+2×2）根火柴．
…
n个三角形需要[3+（n﹣1）×2]＝2n+1根火柴．
所以，2020个三角形需要火柴棒＝2×2020+1＝4041（根）．
故选：A．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；创新意识．
【点评】本题考查了规律型中的图形变化问题，要能够从图形中发现规律，解决此类探究性问题．注意由特殊到一般的归纳方法．此题的规律为：第n个三角形需要（2n+1）根火柴．
15．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（ ）
A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b
【答案】B
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2[a﹣b+（a﹣3b）]＝4a﹣8b．
故选：B．
【考点】整式的加减；列代数式．
【专题】几何图形问题．
【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】由48为偶数，将x＝48代入12x计算得到结果为24，再代入12x计算得到结果为12，依此类推得到结果为6，将x＝6代入12x计算得到结果为3，将x＝3代入x+5计算得到结果为8，依次计算得到结果为4，将x＝4代入12x计算得到结果为2，归纳总结得到一般性规律，即可确定抽2017次输出的结果．
【解答】解：根据运算程序得到：除去前两个结果24，12，剩下的以6，3，8，4，2，1循环，
∵（2017﹣2）÷6＝335…5，
则第2017次输出的结果为2，
故选：D．
【考点】代数式求值．
【专题】图表型；运算能力；推理能力．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的规律是解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
17．比较两个数的大小：−76 ＜ −87．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可．
【解答】解：|−76|=76=4942，|−87|=87=4842．
∵4942＞4842，
∴|−76|＞|−87|．
∴−76＜−87．
故答案为：＜．
【考点】有理数大小比较．
【专题】比较有理数．
【点评】本题主要考查的是比较有理数的大小，掌握法则是解题的关键．
18．如果单项式5xmy与﹣3x4yn是同类项，那么m+n＝ 5 ．
【答案】5．
【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可．
【解答】解：由同类项的定义可知m＝4，n＝1，
∴m+n＝4+1＝5．
故答案为：5．
【考点】同类项．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
19．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝ 9 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．
【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【专题】计算题．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
20．已知∠1＝50°，∠1与∠2互余，则∠2的补角度数为 140° ．
【答案】140°．
【分析】根据余角和补角的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠1＝50°，∠1与∠2互余，
∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，
∴∠2的补角＝180°﹣∠2＝140°，
故答案为：140°．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
21．已知线段AB＝10cm，C是直线AB上的点，BC＝4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长为 7cm或3cm ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段中点的定义求出BM、BN，再分线段BC不在线段AB上和在线段AB上两种情况讨论求解．
【解答】解：∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴BM=12AB=12×10＝5cm，
BN=12BC=12×4＝2cm，
如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5cm+2cm＝7cm，
如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5cm﹣2cm＝3cm，
综上所述，线段MN的长度是7cm或3cm．
故答案为：7cm或3cm．
【考点】两点间的距离．
【专题】常规题型．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论．
22．a，b，c，d为有理数，现规定一种运算：abcd=ad﹣bc，那么当24(1−x)5=18时，x的值是 3 ．
【答案】3．
【分析】根据新定义列出一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：根据题意，得2×5﹣4（1﹣x）＝18，
解得x＝3．
故答案为：3．
【考点】解一元一次方程．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力．
【点评】本题主要考查了定义新运算，解一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出一元一次方程．
23．某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配套，则每天可生产 144 套．
【答案】144．
【分析】设应安排x名工人生产甲种零件，则安排（66﹣x）名工人生产乙种零件，根据甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入24x3中即可求出结论．
【解答】解：设应安排x名工人生产甲种零件，则安排（66﹣x）名工人生产乙种零件，
依题意得：24x3=15(66−x)5，
解得：x＝18，
∴24x3=24×183=144，
∴每天可生产144套．
故答案为：144．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M＝1+3+32+33+…+3100，则3M＝3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M＝3101﹣1，所以M=3101−12，即1+3+32+33+…+3100=3101−12，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 52016−14 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目信息，设M＝1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．
【解答】解：设M＝1+5+52+53+…+52015，
则5M＝5+52+53+54…+52016，
两式相减得：4M＝52016﹣1，
则M=52016−14．
故答案为52016−14．
【考点】有理数的乘方．
【专题】压轴题；规律型．
【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
25．计算：
（1）3﹣（﹣5）+（﹣2）3÷（﹣4）；
（2）−13×(−|−132|)×113×(−166)．
【答案】（1）10；
（2）﹣2．
【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后计算加法即可；
（2）先化简绝对值，再结合乘法交换律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝3+5+（﹣8）÷（﹣4）
＝3+5+2
＝10；
（2）原式=−13×(−132)×113×(−166)
=[−13×113]×[(−132)×(−166)]
＝（﹣1）×2
＝﹣2．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【点评】本题考查有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
26．解方程．
（1）5x﹣2（3﹣2x）＝﹣3
（2）x−35−x−43=1
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先去括号，再移项，化系数为1，从而得到方程的解．
（2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：（1）5x﹣6+4x＝﹣3（1分）
9x＝﹣3+6（3分）
x=13（5分）
（2）3（x﹣3）﹣5（x﹣4）＝15（1分）
3x﹣9﹣5x+20＝15（2分）
﹣2x＝15+9﹣20（3分）
x＝﹣2（5分）
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题．
【点评】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
27．先化简，再求值：5x2﹣2（3y2+6xy）+（2y2﹣5x2），其中x=13，y=−12．
【答案】见试题解答内容
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可得．
【解答】解：原式＝5x2﹣6y2﹣12xy+2y2﹣5x2
＝﹣4y2﹣12xy，
当x=13，y=−12时，
原式＝﹣4×（−12）2﹣12×13×（−12）
＝﹣4×14+2
＝﹣1+2
＝1．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：+5，﹣4，﹣8，+10，+3，﹣6，+7，﹣11．
（1）将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？
（2）若汽车耗油量为0.5升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为6.70元/升，则小王共花费了多少元钱？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出各个数的和，依据结果即可判断；
（2）求出汽车行驶的路程即可解决．
【解答】解：（1）+5﹣4﹣8+10+3﹣6+7﹣11＝﹣4，则距出发地西边4千米；
（2）汽车的总路程是：5+4+8+10+3+6+7+11＝54千米，
则耗油是54×0.5＝27升，花费27×6.70＝180.9元，
答：（1）小王距出发地西边4千米；
（2）耗油27升，花费180.9元．
【考点】正数和负数．
【专题】实数．
【点评】主要考查正负数在实际生活中的应用．利用正负号可以分别表示向东和向西，就可以表示位置，在本题中注意不要用（1）中求得的数﹣4代替汽车的路程．
29．为有效开展阳光体育活动，天人中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据得分为13分可列方程求解．
【解答】解：设胜了x场，那么负了（8﹣x）场，根据题意得：
2x+1•（8﹣x）＝13，
x＝5，
8﹣5＝3．
答：九年级一班胜、负场数分别是5和3．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一元一次方程的应用．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，还考查了学生的理解题意能力，关键设出胜的场数，以总分数作为等量关系列方程求解．
30．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为12r，4个半径为15r的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含r的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当r＝2cm时，求图中阴影部分的面积（π取3）．
【答案】（1）59100πr2；
（2）17725．
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于总面积减去空白圆的面积即可；
（2）代入计算即可．
【解答】解：（1）阴影面积：πr2﹣π×（12r）2﹣π×（15r）2×4
=59100πr2；
（2）当r＝2cm，π取3时，
原式=59100×3×4=17725（cm2）．
【考点】代数式求值；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【点评】本题考查列代数式以及代数式求值，掌握圆面积的计算方法是正确解答的前提．
31．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD=14AB=13CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC=12AC=12×10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝x cm
∵BD=14AB=13CD
∴AB＝4BD＝4x cm，CD＝3BD＝3x cm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6x cm，
∵E为线段AB的中点
∴BE=12AB=12×4x＝2x cm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4x cm
又∵EC＝12cm
∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
【考点】两点间的距离．
【专题】计算题；数形结合；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【点评】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．
32．已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若以∠AOB＝10°为起始位置，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOD．然后根据关系转化求出角的度数；
（2）利用各角的关系求解：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC=12∠AOC+12∠BOD﹣∠BOC=12（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC；
（3）由题意得∠AOM=12(10°+2t+20°)，∠DON=12(160°−10°−2t)，由此列出方程求解即可．
【解答】解：（1）因为∠AOD＝160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD
所以∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOD
即∠MON＝∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOD=12（∠AOB+∠BOD）
=12∠AOD＝80°；
（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
所以∠MOC=12∠AOC，∠BON=12∠BOD
即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC=12∠AOC+12∠BOD﹣∠BOC
=12（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
=12（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
=12×180°﹣20°＝70°；
（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=12∠AOC＝t°+15°．
∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝150°﹣2t．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON=12∠BOD＝75°﹣t°．
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，
解得t＝21．
答：t为21秒．
【考点】角平分线的定义．
【专题】角平分线的推理和运算能力．
【点评】此题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．
33．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是﹣1和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点，且满足|MN|＝k|AB|（k为正整数），我们称A，B两点完成了一次“准相向运动”．
（1）若A，B两点完成了一次“准相向运动”．
①当k＝2时，M，N两点表示的数分别为 5 ， ﹣3 ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；
（2）如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达M2，N2两点，若k不变，求M2，N2两点所表示的数（用含k的式子表示）；
（3）若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达Mn，Nn两点，当k＝2时，是否存在点Mn，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点Nn所表示的数；如果不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①由题意得：M点和N点关于AB中点1对称，所以M代表的值与N代表的值的和是1的两倍，再利用k的大小进行代数式求值即可．②用k表达出M和N的值即可．
（2）由（1）中②可得MN两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据M2点和N2也关于AB中点1对称，且k值不变即可求解．
（3）先选取多个n的值，表达出对应Mn和Nn的值，从特殊取值过程中，研究n和Mn点以及Nn点的关系，总结出一般规律进行解题．
【解答】解：
（1）①由题意得：
∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同
∴AM＝BN．
∴AM﹣AB＝BN﹣AB．
∴AN＝BM．
又∵|MN|＝2|AB|，∴|MN|＝2×4＝8，|NA|＝|BM|＝（8﹣4）÷2＝2
∴M点为5，N点为﹣3
故答案为：5，﹣3
②∵由①得：M点和N点是关于AB的中点对称的，
∴当k为1时，|BM|为0；
k为2时，|BM|为2；
k为3时，|BM|为4；
k为4时，|BM|为6；
k为5时，|BM|为8；
以此类推：|BM|始终是（k﹣1）×2
∴|AN|＝|BM|＝（k﹣1）×2
∴M点为（k﹣1）×2+3，即2k+1
N点为﹣1﹣（k﹣1）×2，即1﹣2k
（2）由（1）中②可得M点为（2k+1），N点为（1﹣2k），∴|MN|＝（2k+1）﹣（1﹣2k）＝4k．
∴|M2N2|＝k•4k＝4k2．
∴|M2N2|2=2k2．
∴M2为（1﹣2k2），N2为（1+2k2）．
（3）∵k＝2，∴取多个n的值，过程如下：
当n为1时，根据（1）得：此时M1点为5，N1为﹣3
当n为2时，M2为﹣3﹣4＝﹣7，N2为5+4＝9
当n为3时，M3为5+4+8＝17，N3为﹣3﹣4﹣8＝﹣15
当n为4时，M4为﹣3﹣4﹣8﹣16＝﹣31，N4＝5+4++8+16＝33
以此类推发现n为奇数时，Mn为正数，而正数的规律是5+22+23+24+••••••+2n，
令22+23+24+•••••+2n＝S，
∴2S＝23+24+••••+2n+1，
∴2S﹣S＝S＝2n+1﹣22，
∴Mn＝2n+1﹣22+5＝2n+1+1．
令2n+1+1＝65，解之得：n＝5．
又∵M5和N5关于1对称，
∴N5为1×2﹣65＝﹣63．
答：存在次数n使得Mn为65，此时n为5，N5为﹣63．
【考点】数轴．
【专题】创新题型；数形结合；运算能力．
【点评】本题考查学生代数式的表达能力，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大．