重庆市巴蜀中学2025届高考适应性月考卷（三）数学-试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由得即
解得．…………………………………………（6分）
（2）由且是递增的等比数列，得
故，
由于数列是递增数列，则当取最小值时，，即，
，
若，则，
．……………………………………………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）由正弦定理，，
又，∴，∴，
∵，
………………………………………………………………………………………（4分）
∵，
∴，
∴．……………………………………………………………………………（7分）
（2）∵，，
，
∵△ABC是锐角三角形，∴，
，
∴．……………………………………………………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）解：根据题意直线的斜率不为0，可设直线：，，
代入抛物线方程得：，
∴，，，
∴，
当时，，∴，
∴抛物线的方程为．…………………………………………………（5分）
（2）证明：由（1）可知，，则，
∴．…………………………………………………（8分）
（3）证明：设，
直线AC的方程：，直线BD的方程：，
由得，
∴，同理，，
，
由（2）知，则，
．
……………………………………………………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
（1）证明：，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以，即．……………………………………………………（4分）
（2）解：令，则；……………………………………………（6分）
当时，，
所以原不等式成立，
故实数的取值范围是．…………………………………………………………（9分）
（3）证明：，
所以在点处的切线方程：，即：，
与联立得：，
即证：当时，方程除外，还有另一根，
且．……………………………………………………………………………（12分）
设，则，
又，，，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以，
，，
又，所以存在唯一实数，使，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以当时，，
又，
所以存在唯一实数，使，
即：当时，方程除外，有唯一根，且，
故结论成立．……………………………………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）．…………………………………………（3分）
（2）若，则数列中必有两个数列前两项相同（因每项为0或1，前两项至多有种组合）；
不妨设该二者为，则必有（两数列的第三项也相同）或（两数列的第三项相异），
故不合题意；………………………………………………………………………（6分）
当时，可构造；；；满足题意，
故的最大值为4．………………………………………………………………………（9分）
（3）记，，
显然，，
设，，
，…………………………………………………………………………（11分）
若或，则已有．
下不妨设且，
由平均值原理，，使得，，且
（其中为集合的元素个数），
……………………………………………………………………………………（13分）
不妨设，则，，
，
且，
故
．………………………………………（15分）
上式取等时，构造：，有，，
事实上，取为；为，
有满足题意，为所求最大值．
…………………………………………………………………………………（17分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
D
C
B
C
A
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
BCD
题号
12
13
14
答案