2024年浙江省初中名校发展共同体中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

这是一份2024年浙江省初中名校发展共同体中考数学模拟试卷（3月份）（含解析），共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）计算﹣2﹣8的结果是（ ）
A．﹣6B．﹣10C．10D．6
2．（3分）据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.46×1010B．4.6×109C．46×108D．4.6×108
3．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短
D．平面内经过一点有无数条直线
5．（3分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
6．（3分）若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．a+c＞b+cB．a﹣c＜b﹣cC．ac＞bcD．＞
7．（3分）从某个月的月历表中取一个2×2方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（ ）
A．x+（x+1）+（x+7）+（x+14）＝44
B．x+（x+1）+（x+6）+（x+12）＝44
C．x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44
D．x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝44
8．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高线，设∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bcsA+asinBB．c＝bsinA+asinB
C．c＝bsinA+acsBD．c＝bcsA+acsB
9．（3分）关于二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）+2（a＜0）的下列说法中，正确的是（ ）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过（1，0）和（3，0）这两个定点
B．当x＝2时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x＜0或x＞2时，y＜2
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n（m＜n），则1＜m＜n＜3
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在BC上取点F，使得CF＝CE，连结AF交CD于点G，连结AD．若CG＝GF，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：mx2﹣m＝ ．
12．（3分）盒中有m枚黑棋和n枚白棋，这些棋除颜色外无其它差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则m关于n的关系表达式为 ．
13．（3分）如图，直线m，n被一组平行线a，b，c所截．若，则＝ ．
14．（3分）已知△ABC的外接圆的半径为6，若∠A＝45°，∠B＝30°，则AB的长为 ．
15．（3分）若a＝2﹣b，ab＝t﹣1，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值为 ．
16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点E，F分别在边AC和边BC上，沿直线EF将△CEF翻折，使点C落于△ABC所在平面内，记为点D．直线CD交AB于点G．
（1）若CF落在边AB上，则＝ ；
（2）若，则tan∠CEF＝ （用含的代数式表示）．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（6分）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6+6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
18．（6分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 分；
（2）a＝ ，b＝ ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上（点E不与A，C重合），且∠AED＝∠B．
（1）求证：AD•AB＝AE•AC．
（2）若AE＝EC＝2AD，求的值．
（3）若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围．
20．（8分）已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上．
（1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值．
（2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由．
21．（10分）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．
（1）求∠CAD的度数．
（2）已知AB＝2，求DF的长．
22．（10分）数学实验
生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？
小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3cm的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：
（1）如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形ABCD画出来，并分别作边DA，BA的延长线AF，AH．小聪发现：①四边形ABCD是菱形；②∠FAH＝2∠ACD．请证明这两个结论．
（2）小聪发现，在（1）的基础上，表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当∠FAH＝90°时，∠ACD＝45°，则有 CE＝AE＝3cm，因此表示 90°角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示 60°角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据：≈1.414，≈1.732，．
（3）在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角△ACE 的直角边CE的长度m；第二步，计算出 的值，这个值恰好是∠α 的正切值，即tanα＝；第三步，利用计算器算出α的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．
请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为4，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．
（参考数据：tan4°12'≈0.34，tan4°18'≈0752，tan56°18'≈1.4994，tan56°24'≈1.5051，tan71°30'≈2.989，tan71°36'≈3.006）．
23．（12分）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD，这个大棚用了400根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加经费32000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC′＝1米，求GG′的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为对边AD，BC的中点，线段EF交AC于点O，延长CD于点G，连结GE并延长交AC于点Q，连结GF交AC于点P，连结QF．（1）若DG＝CD．
①求证：点Q为OA的中点．
②若OA＝1，∠ACB＝30°，求QF的长．
（2）求证：FE平分∠QFP．
（3）若CD＝mDG，求．（结果用含m的代数式表示）
2024年浙江省初中名校发展共同体中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求
1．（3分）计算﹣2﹣8的结果是（ ）
A．﹣6B．﹣10C．10D．6
【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2﹣8＝﹣10，
故选：B．
2．（3分）据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.46×1010B．4.6×109C．46×108D．4.6×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4600000000＝4.6×109．
故选：B．
3．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【解答】解：从上面看，可得选项B的图形．
故选：B．
4．（3分）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短
D．平面内经过一点有无数条直线
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解答】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，
这是因为：两点之间，线段最短．
故选：A．
5．（3分）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6xB．y＝﹣6xC．y＝D．y＝﹣
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：B．
6．（3分）若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．a+c＞b+cB．a﹣c＜b﹣cC．ac＞bcD．＞
【分析】运用不等式的性质判定各选项即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴A、a+c＞b+c，故选项正确；
B、a﹣c＞b﹣c，故选项错误；
C、c＜0时，ac＜bc，故选项错误；
D、c＜0时，＜，故选项错误．
故选：A．
7．（3分）从某个月的月历表中取一个2×2方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（ ）
A．x+（x+1）+（x+7）+（x+14）＝44
B．x+（x+1）+（x+6）+（x+12）＝44
C．x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44
D．x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝44
【分析】根据题意和图形，可以列出关于x的方程．
【解答】解：由图可得，
x+（x+1）+（x+7）+（x+8）＝44，
故选：C．
8．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高线，设∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bcsA+asinBB．c＝bsinA+asinB
C．c＝bsinA+acsBD．c＝bcsA+acsB
【分析】由锐角的三角函数定义，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴csA＝，csB＝，
∴bcsA+acsB＝b•+a•＝AD+BD＝AB＝c．
故选：D．
9．（3分）关于二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）+2（a＜0）的下列说法中，正确的是（ ）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过（1，0）和（3，0）这两个定点
B．当x＝2时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x＜0或x＞2时，y＜2
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n（m＜n），则1＜m＜n＜3
【分析】先求得该二次函数的图象经过点（1，2），（3，2），求得对称轴为直线x＝2，据此逐一判断各选项即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝2，即该二次函数的图象经过点（1，2），故选项A不正确；
当x＝3时，y＝2，则该二次函数的图象经过点（3，2），
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
∵a＜0，
∴当x＝2时，该二次函数取到最大值，故选项B不正确；
∵该二次函数的图象经过点（1，2），（3，2），将该二次函数的图象向左平移1个单位，则经过点（0，2），（2，2），
∴则当x＜0或x＞2时，y＜2，故选项C正确；
∵该二次函数的图象经过点（1，2），（3，2），开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n（m＜n），
∴m＜1＜3＜n，故选项D不正确，
故选：C．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在BC上取点F，使得CF＝CE，连结AF交CD于点G，连结AD．若CG＝GF，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由射影定理可得BC2＝AB•BE，AC2＝AB•AE，通过证明△ACF∽△BEC，可得AC＝BE，可求AC＝AB，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴AC＝AD，∠CEB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠BCE＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE，
∴△BCE∽△BAC，
∴，
∴BC2＝AB•BE，
同理可得：AC2＝AB•AE，
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴△ACF∽△BEC，
∴，
∵CF＝CE，
∴AC＝BE，
∴AC2＝AB•AE＝AB（AB﹣AC），
∴AC＝AB（负值舍去），
∴BE＝AB，
∴AE＝AB，
∴＝＝＝，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：mx2﹣m＝ m（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提出公因式m，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝m（x2﹣1）＝m（x+1）（x﹣1），
故答案为：m（x+1）（x﹣1）．
12．（3分）盒中有m枚黑棋和n枚白棋，这些棋除颜色外无其它差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则m关于n的关系表达式为 2m＝3n ．
【分析】根据概率等于列式求解即可得到答案；
【解答】解：∵盒中有m枚黑棋和n枚白棋，从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，
∴，
∴2m＝3n，
故答案为：2m＝3n．
13．（3分）如图，直线m，n被一组平行线a，b，c所截．若，则＝ ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．（3分）已知△ABC的外接圆的半径为6，若∠A＝45°，∠B＝30°，则AB的长为 3+3 ．
【分析】设圆心为O，连接OC，OB，OA，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠BOC＝2∠BAC＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，△AOC是等边三角形，求得BC＝＝6，AC＝OC＝6，过C作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：设圆心为O，连接OC，OB，OA，
∵∠BAC＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC＝OA，
∴△BOC是等腰直角三角形，△AOC是等边三角形，
∴BC＝＝6，AC＝OC＝6，
过C作CH⊥AB于H，
∴BH＝BC＝3，AH＝AC＝3，
∴AB＝BH+AH＝3+3，
故答案为：3+3．
15．（3分）若a＝2﹣b，ab＝t﹣1，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值为 ﹣4 ．
【分析】由a＝2﹣b得出a+b＝2，再将（a2﹣1）（b2﹣1）变形为（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，将已知条件代入求值即可．
【解答】解：∵a＝2﹣b，
∴a+b＝2，
∴（a2﹣1）（b2﹣1）
＝a2b2﹣a2﹣b2+1
＝a2b2﹣（a2+b2）+1
＝（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1
＝（t﹣1）2﹣22+2（t﹣1）+1
＝t2﹣2t+1﹣4+2t﹣2+1
＝t2﹣4，
∵t2≥0，
∴t2﹣4≥﹣4，
∴（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值为﹣4，
故答案为：﹣4．
16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点E，F分别在边AC和边BC上，沿直线EF将△CEF翻折，使点C落于△ABC所在平面内，记为点D．直线CD交AB于点G．
（1）若CF落在边AB上，则＝ ；
（2）若，则tan∠CEF＝ （用含的代数式表示）．
【分析】（1）根据折叠的性质得BG＝BC，CE＝GE，设BC＝a，则BG＝a，由勾股定理得，，从而可求值；
（2）过点G作GH⊥AC于点H，由，设GB＝x，则AG＝λx，AB＝λx+x，，，进一步可求出答案．
【解答】解：（1）如图1，
由折叠得，CE＝GE，点B与点F重合，
则BG＝BC，
设BC＝a，则BG＝a，
在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AB＝a，
∴AG＝AB﹣BG＝（﹣1）a，
∴＝＝﹣1；
（2）过点G作GH⊥AC于点H，
∴∠CEF+∠CGH＝90°，
∵∠CEF+∠ECG＝90°，
∴∠CEF＝∠CGH，
由＝λ，设GB＝x，则AG＝λx，
∴AB＝AG+BG＝λx+x，
在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AC＝AB，AH＝AG，
∴CH＝AC﹣AH＝（AB﹣AG），
又由作图得△GHB为等腰直角三角形，
∴GH＝AG，
∴tan∠CGH＝＝＝，
∴tan∠CEF＝＝＝，
故答案为：﹣1，．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（6分）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6+6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可．
【解答】解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式＝6÷（﹣+）
＝6÷（﹣）
＝6×（﹣6）
＝﹣36．
18．（6分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 1 ，七年级活动成绩的众数为 8 分；
（2）a＝ 2 ，b＝ 3 ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
（2）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；
（3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
【解答】解：（1）根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1﹣50%﹣20%﹣20%＝10%
∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%＝1，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8．
（2）∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，
∴a＝5﹣1﹣2＝2，
b＝10﹣1﹣2﹣2﹣2＝3，
故答案为：2，3．
（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%＝40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%＝8.5，
八年级优秀率为＞40%，平均成绩为：＜8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上（点E不与A，C重合），且∠AED＝∠B．
（1）求证：AD•AB＝AE•AC．
（2）若AE＝EC＝2AD，求的值．
（3）若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围．
【分析】（1）由∠AED＝∠B，∠A＝∠A可证得△AED和△ABC相似，再利用相似三角形的性质可得出结论；
（2）设AD＝k，则AE＝EC＝2k，AC＝4k，由（1）的结论得AD•AB＝AE•AC，则k•AB＝2k•4k据此得AB＝8k，进而可得的值；
（3）由（1）结论得AD•AB＝AE•AC，将AB＝6，AC＝4代入得AD＝AE，然后根据点E在AC边上，AC＝4得0＜AE＜4，由此可得AD长的取值范围．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AD：AC＝AE：AB，
即AD•AB＝AE•AC；
（2）解：∵AE＝EC＝2AD，
∴设AD＝k，则AE＝EC＝2k，
∴AC＝AE+EC＝4k，
由（1）可知：AD•AB＝AE•AC，
∴k•AB＝2k•4k，
∴AB＝8k，
∴＝＝；
（3）解：由（1）可知：AD•AB＝AE•AC，
∵AB＝6，AC＝4，
∴6•AD＝4•AE，
∴AD＝AE，
∵点E在AC边上，AC＝4，
∴0＜AE＜4，
∴0＜AD＜，
即0＜AD＜．
20．（8分）已知点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上．
（1）用含有m1，n1，m2，n2的代数式表示k的值．
（2）若m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，b＞2．试比较n1和n2的大小，并说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征即可得出n1＝km1+b、n2＝km2+b，二者做差即可得出n1﹣n2＝k（m1﹣m2），再结合m1＜m2即可求出k值；
（2）由m1+m2＝3b，n1+n2＝kb+4，即可得出3kb+2b＝kb+4，用函数b的代数式表示出k值，根据b的取值范围即可得出k＜0，结合一次函数的增减性及m1＜m2即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（m1，n1），B（m2，n2）（m1＜m2）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴n1＝km1+b，n2＝km2+b，
∴n1﹣n2＝（km1+b）﹣（km2+b）＝k（m1﹣m2），
∵m1＜m2，
∴m1﹣m2≠0，
∴；
（2）n1＞n2，理由如下：
∵n1+n2＝（km1+b）+（km2+b）＝k（m1+m2）+2b
又∵n1+n2＝kb+4，
∴k（m1+m2）+2b＝kb+4，
∵m1+m2＝3b，
∴3kb+2b＝kb+4，
解得：，
∵b＞2，
∴，
∴一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小．
又∵m1＜m2，
∴n1＞n2．
21．（10分）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．
（1）求∠CAD的度数．
（2）已知AB＝2，求DF的长．
【分析】（1）根据五边形ABCDE是正五边形，判断出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE＝108°．即可得到；
（2）证明△DCF∽△DAC，推出CD2＝DF×AD，设DF＝x，则AD＝x+2，列出方程，解方程即可求出DF的长．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，．
∴四边形ABCF是菱形，
∴∠BAC＝∠CAD，
同理可求：∠CAD＝∠DAE，
∴；
（2）∵四边形ABCF是菱形，
∴CF＝AF＝AB＝2．
∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°，
同理∠DCE＝36°，
∴△DCF∽△DAC，
∴，即CD2＝DF×AD，
设DF＝x，则AD＝x+2，
∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0，
解得（舍去负值）．
∴DF的长是．
22．（10分）数学实验
生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？
小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3cm的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：
（1）如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形ABCD画出来，并分别作边DA，BA的延长线AF，AH．小聪发现：①四边形ABCD是菱形；②∠FAH＝2∠ACD．请证明这两个结论．
（2）小聪发现，在（1）的基础上，表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当∠FAH＝90°时，∠ACD＝45°，则有 CE＝AE＝3cm，因此表示 90°角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示 60°角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据：≈1.414，≈1.732，．
（3）在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角△ACE 的直角边CE的长度m；第二步，计算出 的值，这个值恰好是∠α 的正切值，即tanα＝；第三步，利用计算器算出α的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．
请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为4，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．
（参考数据：tan4°12'≈0.34，tan4°18'≈0752，tan56°18'≈1.4994，tan56°24'≈1.5051，tan71°30'≈2.989，tan71°36'≈3.006）．
【分析】（1）由题意可得四边形ABCD是平行四边形，再根据面积相等证明CB＝CD，即可证明菱形，根据对顶角相等和菱形的对角线平分对角即可证明；
（2）根据tan60°＝计算即可；
（3）根据tanα＝计算即可．
【解答】解：（1）由题意可知四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条一样宽，所以两组对边间的距离不变，
∴根据面积不变的原理可以得到CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵∠FAH＝∠BAD，
∴∠BAD＝2∠ACD，
∴∠FAH＝2∠ACD；
（2）∵tan60°＝，
∴m＝＝＝≈1.732，
∴表示 60°角的位置与点C的距离约为1.73；
（3）∵tanα＝，
当 m＝4时，tanα＝＝0.75，α≈36°54'；
当m＝2 时，tanα＝＝1.5，α≈56°18′；
当m＝1 时，tanα＝＝3，α≈71°36′．
23．（12分）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图1所示，其中支架DE＝BC，OF＝DF＝BD，这个大棚用了400根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加经费32000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC′＝1米，求GG′的长度．
（2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为y＝ax2+bx+c，根据所建立的平面直角坐标系得到A（0，1），E（4，3.4），C（6，3.4），然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C′、E′的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出G′、E′的坐标得到a的不等式，进而得到CC′的最大值．
【解答】解：（1）①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：A（0，1），E（4，3.4），C（6，3.4），
设改造前的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后C与E上升相同的高度，且CC′＝1，
∴对称轴为直线x＝5，则有，
当x＝6时，y＝4.4，
∴36c+6d+1＝4.4，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当x＝2时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴GG′的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为y＝ax2﹣10ax+1，
∵当x＝2时，y＝a×22﹣10a×2+1＝﹣16a+1，
当x＝4时，y＝a×42﹣10a×4+1＝﹣24a+1，
∴G′（2，﹣16a+1），E′（4，﹣24a+1），
∴，
由题意可列不等式：（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，
解得：，
∵CC'＝EE'＝﹣24a+1﹣3.4，
要使最大，需a最小，
∴当时，CC′的值最大，最大值为1.6米．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为对边AD，BC的中点，线段EF交AC于点O，延长CD于点G，连结GE并延长交AC于点Q，连结GF交AC于点P，连结QF．（1）若DG＝CD．
①求证：点Q为OA的中点．
②若OA＝1，∠ACB＝30°，求QF的长．
（2）求证：FE平分∠QFP．
（3）若CD＝mDG，求．（结果用含m的代数式表示）
【分析】（1）①首先证明△QEO∽△QGC，根据该相似三角形的对应边成比例得到：，结合中点的性质推知，，最后根据等量代换推知Q为OA的中点．
②如图1，作 QH⊥BC 于点H，则OF∥QH，由平行线分线段成比例得到：．利用①题的结论和含30度角直角三角形的性质求得．
（2）如图2，延长QF与GC的延长线交于点I．构造相似三角形：△QOF∽△QCl，△QOE∽△QCG．根据该相似三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推知∠QFE＝∠EFG．
（3）首先证得△QOE∽△QCG，则，同理，故．作QH⊥BC于点H，PJ⊥BC于点J，构造△QFH∽△PFJ，再次由相似三角形的对应边成比例推知．
【解答】（1）①证明：由题意，得EF与AC互相平分，EF∥CD且EF＝CD，
则△QEO∽△QGC，
∴，
又∵，，
∴，则
即点Q为OA的中点．
②解：如图1，作 QH⊥BC 于点H，
由题意，得OF∥QH，
所以．
由①，得 ，
∴，
∵∠ACB＝30°
则，，
∴，
∴．
（2）如图2，延长QF与GC的延长线交于点I．
因为EF∥CD，所以∠QFE＝∠1，∠EFG＝∠FGl；
且△QOF∽△QCl，△QOE∽△QCG．
∴，
∵OE＝OF，
∴Cl＝CG．
又∵FC⊥GI，
∴FI＝FG，
∴∠I＝∠FGI，则∠QFE＝∠EFG．
（3）解：因为CD＝mDG，
由 EF∥CD，得△QOE∽△QCG，
∴，
同理，
∴．
作QH⊥BC于点H，PJ⊥BC于点J，
∴∠QHF＝∠PJF＝90°
又由（2），得∠QFH＝∠PFJ，
∴△QFH∽△PFJ，
∴．
即＝．
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
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