上海市松江二中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市松江二中2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣6x+5＜0}，B＝{0，1，2},则A∩B= ．
2．（4分）已知向量，，则在方向上的数量投影为 ．
3．（4分）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程是 ．
4．（4分）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为 ．
5．（4分）二项式的展开式中，常数项为 ．
6．（4分）关于x的方程|x+1009|+|x|+|x﹣1015|＝2024的解集为 ．
7．（5分）已知x＞0，y＞0，x+4y＝xy, 则x+y的最小值为 ．
8．（5分）《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍薨，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍薨，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍薨为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”．若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为 ．
9．（5分）意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题．后续的数学家对这一问题不断研究,得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数．其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移，再向上平移2个单位，得到函数y＝f（x），并且数列{an}满足条件，则数列{an}的前2024项和S2024＝ ．
10．（5分）已知椭圆，点F1和F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为 ．
11．（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2=2024c2，则的值为 ．
12．（5分）已知关于x的方程x•ex﹣2﹣a（x+lnx）﹣2a＝0在（0，1]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分。）
13．（4分）设z∈C，则是|z|＝1的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
14．（4分）在△ABC中，BC＝10，M为BC中点，AM=4，则＝（ ）
A．﹣9B．﹣16C．9D．16
15．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x），其导数为f′（x），记g（x）=f′（x），且f（x）-f（-x）=4x,g（x）+g（2-x）=0，则下列说法中正确的个数为（ ）
①g（0）＝1；
②的图象关于（0，2）对称；
③f（x）+f（2﹣x）＝0；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．（5分）已知正项数列{an}满足，下列说法正确的是（ ）
A．当0＜a1＜1时，数列{an}单调递减
B．当a1＞1时，数列{an}单调递增
C．当0＜a1＜1时，存在正整数n0，当n≥n0时，
D．当a1＞1时，存在正整数n0，当n≥n0时，
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80，100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X为其中达到90分及以上的学生的人数，求X的概率分布及数学期望．
18．（14分）已知函数y=f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，并且当x＞0时，
f
（
x
）
=
cs
x
2
•
sin
（
x
2
+
π
3
）
-
√
3
c
s
2
x
2
+
√
3
．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）求关于x的不等式的解集．
19．（14分）如图，在三棱锥P-ABC中AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
（1）求证：直线l⊥平面PAC；
（2）若直线l上存在一点Q（与B都在AC的同侧），且直线PQ与直线EF所成的角为， 求平面PBQ与平面AEF所成的锐二面角的余弦值．
20．（18分）已知点G是圆T：（x+1）2+y2=16上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，动点R的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线OM、ON的斜率分别为k1和k2，且，则△MON的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设P为曲线C上任意一点，延长OP至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求△AQB面积的最大值．
21．（18分）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝x（ax﹣2lnx）（a∈R）．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）的单调增区间；
（2）若当x＞1时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：．
2024-2025学年上海市松江二中高三（上）调研数学试卷（11月份）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣6x+5＜0}，B＝{0，1，2} {2} ．
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣6x+7＜0}＝{x|1＜x＜7}，B＝{0，1，
则A∩B＝ {5}．
故答案为：{2}．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（4分）已知向量，，则在方向上的数量投影为 ．
【分析】由数量投影的定义计算即可求得．
【解答】解：因为，，
所以，，
所以在方向上的数量投影为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数量投影的求法，属于基础题．
3．（4分）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程是 x﹣y+1＝0 ．
【分析】求出原函数的导函数，得到在x＝0处的导数值，再求出f（0），然后直接写出切线方程的斜截式．
【解答】解：由f（x）＝ex，得f′（x）＝ex，
∴f′（0）＝e0＝1，即曲线f（x）＝ex在x＝7处的切线的斜率等于1，
曲线经过（0，4），
∴曲线f（x）＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x+1，即x﹣y+5＝0．
故答案为：x﹣y+1＝4．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．
4．（4分）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，146，112，则这组数据的40%分位数为 120 ．
【分析】利用百分位数的定义和性质直接求解．
【解答】解：老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，153，112，
从小到大为：96，112，136，153，
6×40%＝2.4，
∴这组数据的40%分位数为120．
故答案为：120．
【点评】本题考查百分位数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（4分）二项式的展开式中，常数项为 ﹣18 ．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：二项式的展开式通项公式为：＝，
令，解得r＝5，
故常数项为．
故答案为：﹣18．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
6．（4分）关于x的方程|x+1009|+|x|+|x﹣1015|＝2024的解集为 {0} ．
【分析】讨论x的取值范围，去掉绝对值，求方程的解即可．
【解答】解：x＜﹣1009时，方程化为﹣（x+1009）﹣x﹣（x﹣1015）＝2024，不合题意；
﹣1009≤x≤0时，方程化为（x+1009）﹣x﹣（x﹣1015）＝2024；
3＜x≤1015时，方程化为（x+1009）+x﹣（x﹣1015）＝2024，不合题意；
x＞1015时，方程化为（x+1009）+x+（x﹣1015）＝2024，不合题意；
综上，方程的解集为{0}．
故答案为：{6}．
【点评】本题考查了含有绝对值的方程解法与应用问题，是基础题．
7．（5分）已知x＞0，y＞0，x+4y＝xy 9 ．
【分析】由已知利用乘1法结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，即＝1，
则x+y＝（x+y）（）＝5+，
当且仅当x＝2y，即y＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8．（5分）《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍薨，上广一尺，下广三尺，袤四尺，意思是：“假设一个刍薨，上底面宽1尺，长4尺，高1尺（如图，刍薨为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则该球体的表面积为 41π ．
【分析】由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为x，列方程求出x＝2，从而R2＝，由此能求出该球体的表面积．
【解答】解：由已知得球心在几何体的外部，
设球心到几何体下底面的距离为x，
则，
解得x＝2，∴，
∴该球体的表面积S＝41π．
故答案为：41π．
【点评】本题考查球体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
9．（5分）意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题．后续的数学家对这一问题不断研究，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移，再向上平移2个单位，得到函数y＝f（x），并且数列{an}满足条件，则数列{an}的前2024项和S2024＝ 4048 ．
【分析】由函数的图象变换，可得f（x）＝+2，推得f（1﹣x）+f（x）＝4，再由数列的倒序相加求和，可得所求和．
【解答】解：将双曲正弦函数的图象向右平移，再向上平移2个单位，
可得f（x）＝+2，
f（1﹣x）+f（x）＝+2+，
由，可得S2024＝f（）+f（），
即有S2024＝f（）+f（），
上面两式相加可得2S2024＝5+4+...+4＝3×2024，
则S2024＝4048．
故答案为：4048．
【点评】本题考查函数的图象变换、对称性和数列的倒序相加求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
10．（5分）已知椭圆，点F1和F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为 ．
【分析】由题意，设出点P的坐标和△PF1F2内切圆半径，利用椭圆的定义和三角形面积进行求解即可．
【解答】解：因为椭圆，
所以a＝3，b＝，
即F1（﹣5，0），F2（3，0），
所以|F1F4|＝2c＝2，
设P（x，y），
易知|PF7|+|PF2|＝2a＝7，
设△PF1F2内切圆半径为r，
因为＝|PF1|•r+|PF2|•r+|F1F2|
＝（|PF1|+|PF3|+|F1F2|）•r＝3r，
又为＝|F1F8|•|y|＝|y|，
因为点P在椭圆上，
所以y2＝3（7﹣），﹣6≤x≤2，
所以当x＝0时，|y|取得最大值，
即3r＝，
解得r＝．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
11．（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边2+b2＝2024c2，则的值为 2023 ．
【分析】由三角函数的切化弦、两角和的正弦公式和三角形的正弦定理、余弦定理，可得所求值．
【解答】解：＝
＝＝＝
＝＝＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12．（5分）已知关于x的方程x•ex﹣2﹣a（x+lnx）﹣2a＝0在（0，1]上有两个不相等的实很 ．
【分析】原方程可化为elnx+x﹣2﹣a（x+lnx）﹣2a＝0，令t＝lnx+x﹣2，x∈（0，1]，即得在t∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1]有两个不相等的实根，再转化为y＝a和，t∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1]有两个不同的交点，利用导数研究函数图象，并结合图象得到结果即可．
【解答】解：由x＝elnx，可得方程x•ex﹣2﹣a（x+lnx）﹣2a＝8，
可化为elnx+x﹣2﹣a（x+lnx）﹣2a＝2，
令t＝lnx+x﹣2，x∈（0，
因为y＝lnx，y＝x﹣2在（0，
所以函数t＝lnx+x﹣2在（2，1]上单调递增，
故x∈（0，7]时，﹣1]．
方程elnx+x﹣2﹣a（x+lnx）﹣8a＝0可化为et﹣at﹣4a＝4，
当t＝﹣4时，方程可化为et＝0，不成立，
故t≠﹣4，故原方程可化为，
由已知在t∈（﹣∞，﹣3]有两个不相等的实根，
即y＝a和，t∈（﹣∞，﹣1]有两个不同的交点．
，
当t∈（﹣∞，﹣5）和t∈（﹣4，g′（t）＜0，
即g（t）在t∈（﹣∞，﹣6）上递减，﹣3）上递减；
当t∈（﹣3，﹣4]时，g（t）在（﹣3．
另外，t＜﹣4时；t＞﹣8时；
，当x→﹣∞时，
当x＜﹣3，且x→﹣3时，
当x＞﹣5，且x→﹣3时，
根据以上信息，函数，﹣3）∪（﹣4，
当时，y＝a和，﹣4）∪（﹣4．
所以a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查转化能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分。）
13．（4分）设z∈C，则是|z|＝1的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【分析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），可得z+＝x+yi+＝x++y（1﹣）i∈R，可得y（1﹣）＝0，解出即可判断出结论．
【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R，则z+＝x+）i∈R，
∴y（5﹣）＝0，x≠05+y2＝1即|z|＝8．
∴“z+∈R”是“|z|＝1”的必要非充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（4分）在△ABC中，BC＝10，M为BC中点，则＝（ ）
A．﹣9B．﹣16C．9D．16
【分析】根据平面向量的加减法则、向量数量积的运算性质，算出＝，代入数据即可算出答案．
【解答】解：因为M是BC的中点，所以+，即＝，
所以＝（++）
＝（+）•（﹣2﹣2＝．
因为2＝||2＝16，8＝||2＝100，
所以＝16﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的加减运算法则、向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．
15．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x），其导数为f′（x），记g（x）（x），且f（x）﹣f（﹣x），g（x）+g（2﹣x）＝0（ ）
①g（0）＝1；
②的图象关于（0，2）对称；
③f（x）+f（2﹣x）＝0；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】对于①，根据求导运算，利用赋值法，即可判断；
对于②，取关于已知对称中心的两个点，代入函数解析式建立方程组，整理等式，结合题意 即可判断；
对于③，根据求导运算，结合题目中的等式，即可判断；
对于④，根据等式可得函数的对称性，结合对称性可得点的坐标，可得等差数列，即可判断．
【解答】解：对于①，由等式f（x）﹣f（﹣x）＝4x，
两边求导可得f'（x）+f'（﹣x）＝4，
则g（x）+g（﹣x）＝5，
令x＝0，则g（0）+g（0）＝4，
解得g（0）＝7，故①错误；
对于②，取点（a的图象上，
易知点（a，b）关于（0，4﹣b），
假设该点也在函数的图象上，
可得，消去b可得，
整理可得f（a）﹣f（﹣a）＝4a，故②正确；
对于③，由等式f（x）+f（8﹣x）＝0，
两边求导可得f′（x）﹣f′（2﹣x）＝5，
则g（x）﹣g（2﹣x）＝0，
显然与题意不符，故③错误；
对于④，由等式g（x）+g（﹣x）＝4，
可得函数g（x）的对称中心为（0，2），
由等式g（x）+g（7﹣x）＝0，
可得函数g（x）的对称中心为（1，4），
点（0，2）关于（8，﹣2）也是对称中心，
点（1，6）关于（2，﹣4）也是对称中心，
归纳可得函数g（x）图象的对称中心为（n，2﹣2n），
当n＝1时，g（x）+g（4n﹣x）＝4﹣4n；
假设当n＝k时，g（x）+g（6k﹣x）＝4﹣4k成立；
当n＝k+5时，g（x）+g（2（k+1）﹣x）＝g（x）+g（5k﹣x）﹣g（2k﹣x）+g（2（k+6）﹣x）
＝4﹣4k﹣g（6k﹣x）﹣g（2﹣（2k+6﹣x））
＝4﹣4k﹣[g（2k﹣x）+g（x﹣2k）]
＝4﹣4（k+1），
由数学归纳法，则g（x）+g（2n﹣x）＝7﹣4n（n∈N*），
所以函数g（x）图象的对称点为（n，2﹣6n），
则g（n）＝2﹣2n（n∈N*），
易知数列{g（n）}是以4为首项，以﹣2为公差的等差数列，
则，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的对称性、复合函数的求导法则，考查了数学归纳法的应用，属于中档题．
16．（5分）已知正项数列{an}满足，下列说法正确的是（ ）
A．当0＜a1＜1时，数列{an}单调递减
B．当a1＞1时，数列{an}单调递增
C．当0＜a1＜1时，存在正整数n0，当n≥n0时，
D．当a1＞1时，存在正整数n0，当n≥n0时，
【分析】构建f（x）＝2lnx，g（x）＝x﹣，结合导数分析f（x），g（x）的单调性和大小关系，利用递推法分析数列{an}的单调性和取值范围，结合选项即可判断．
【解答】解：设f（x）＝2lnx，g（x）＝x﹣，g（x）在（5，
设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝2lnx﹣x+，x＞6，
则＝≤0，
所以F（x）在（4，+∞）内单调递减，
当0＜x＜1时，则F（x）＜7；
当x＝1时，则F（x）＝0；
当x＞7时，则F（x）＞0；
可得f（x），g（x）的函数图象
对于选项AC：若0＜a7＜1，则k1＝f（a4）＜0，且k1＝g（a7），所以a1＜a2＜2，
若0＜a2＜6，则k2＝f（a2）＜8且k2＝g（a3），可得a6＜a3＜1，
依此类推，可得a5＜a2＜a3＜⋯＜an＜⋯＜5，
可知数列{an}单调递增，且an∈[a1，1），
即不存在正整数n3，当n≥n0时，，所以A；
对于选项BD：若a1＞2则k1＝f（a1）＞2，且k1＝g（a2），可得2＜a2＜a1，
若a6＞1，则k2＝f（a4）＞0且k2＝g（a5），可得1＜a3＜a3，
依此类推，可得1＜⋯＜an＜⋯＜a3＜a6＜a1，
可知数列{an}单调递减，且an∈（1，a8]，
所以存在正整数n0，当n≥n0时，（只需，所以B错误．
故选：D．
【点评】本题考查数列与导数的综合应用，化归转化思想，属难题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，将数据分成五组：[50，60），70），[70，[80，90），100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80，100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求X的概率分布及数学期望．
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求解；
（2）先根据分层随机抽样的定义可知，在这6个人中，有4人的分数在[80，90]内，有2人的分数在[90，100]内，则X＝0，1，2，再利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的概率分布，再结合期望公式求解．
【解答】解：（1）因为成绩在区间[80，100]的频率为（0.010+0.005）×10＝5.15＜0.35，100]的频率为0.15+5.04×10＝0.55＞0.35，
所以入围分数位于区间[70，80），
则2.15+（80﹣x）×0.04＝0.35，
解得x＝75，
因此入围分数应设为75分；
（2）因为成绩在区间[80，90]和成绩在区间[90，
所以在这8个人中，有4人的分数在[80，有2人的分数在[90，
因此X＝2，1，2，
则，，，
则X的概率分布为：，
所以X的数学期望为．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的概率分布和期望，属于中档题．
18．（14分）已知函数y＝f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）求关于x的不等式的解集．
【分析】（1）化简0＜x＜1时函数f（x），根据f（x）是奇函数，再求f（x）的解析式；
（2）判断y＝f（x）的单调性，把不等式化为，再转化为，求解集即可．
【解答】解：（1）当0＜x＜1时，f（x）＝cs+）﹣2+
＝cs（sin+）﹣2+
＝sin﹣cs7+
＝sinx﹣
＝sin（x﹣；
当x＝0时，f（x）＝0；
当﹣2＜x＜0时，﹣x＞0，
；
因此；
（2）当x∈（2，1）时，，1）上单调递增；
当x＝0时，，因此有y＝f（x）在（﹣6；
原不等式可化为；
由y＝f（x）是定义在（﹣1，2）上的单调增函数，
解得＜x＜＜x＜}．
【点评】本题考查了函数的性质与不等式的应用问题，是中档题．
19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，BC＝4，E，F分别是PC，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（1）求证：直线l⊥平面PAC；
（2）若直线l上存在一点Q（与B都在AC的同侧），且直线PQ与直线EF所成的角为，求平面PBQ与平面AEF所成的锐二面角的余弦值．
【分析】（1）证明BC∥EF，推出BC∥平面EFA，说明BC∥l，通过证明BC⊥平面PAC，推出l⊥平面PAC．
（2）以C为坐标原点，CA为x轴正方向，CB为y轴正方向，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出平面PBQ的法向量，平面AEF的法向量，利用空间向量的数量积，求解平面PBQ与平面AEF所成的锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是PB，∴BC∥EF，
又EF⊂平面EFA，BC⊄平面EFA，
∴BC∥平面EFA，又BC⊂平面ABC，∴BC∥l，
又BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴BC⊥平面PAC，则l⊥平面PAC．
（2）以C为坐标原点，CA为x轴正方向，
过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，
由题意得：A（2，0，4），4，0），，，，
∴，，设Q（4，y，则．
依题意可得：，即：y＝±2，
又Q与B都在AC的同侧，所以y＝8，2，0），
于是：，，
设平面PBQ的法向量为，
则，取x6＝1，可得，
再设平面AEF的法向量为，
则，取z＝，得，
于是，
所以平面PBQ与平面AEF所成的锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，是中档题．
20．（18分）已知点G是圆T：（x+1）2+y2＝16上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交线段TG于点R
（1）求曲线C的方程；
（2）M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点1和k2，且，则△MON的面积是否为定值？若是，求出这个定值，请说明理由；
（3）设P为曲线C上任意一点，延长OP至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，求△AQB面积的最大值．
【分析】（1）由已知得|RT|+|RH|＝|RT|+|RG|＝4＞|TH|＝2，可得动点R的轨迹为椭圆，然后求出a，b即可得解；
（2）设M、N两点的坐标，表示出△MON的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求△MON的面积；
（3）求出点Q的轨迹方程曲线E，S△AQB＝2S△AOB，分类讨论设直线方程，利用韦达定理表示S△AOB，由直线与曲线C有交点确定参数范围，求面积最大值．
【解答】解：（1）由题|RH|＝|RG|，则|RT|+|RH|＝|RT|+|RG|＝|GT|＝4＞|TH|＝2，
则曲线C是以（﹣8，0）和（1，6为长轴的椭圆，
则a＝2，c＝12＝a2﹣c2＝5，
所以曲线C的方程为：；
（2）设，，
所以，
则，
化简得：cs（α﹣β）＝2，则|sin（α﹣β）|＝1，
又，
直线OM：，
则N到直线OM的距离d＝
＝，
所以S△MON＝
＝，为定值；
（3）因为，设点Q（x，则点，
代入曲线C的方程得，
化简可得曲线E的方程：，
由知S△AQP＝2SΔAOP，
同理S△BQP＝3S△BOP，所以S△AOB＝2S△AOB，
①如图，当直线l斜率存在时：设l：y＝kx+m1，y2），B（x2，y2），
联立，化简得（2k2+3）x2+8mkx+4m5﹣108＝0，
则，，
所以S△AQB＝7S△AOB＝＝|m||x5﹣x2|
＝
＝，
而l与椭圆C有公共点，
联立，化简得：（4k8+3）x2+6kmx+4m2﹣12＝4，
则Δ＝64k2m2﹣3（4k2+7）（4m2﹣12）≥6，即4k2+4≥m2，
记≤2，
所以9t﹣t2＝≤﹣（1﹣）2＝8，
则，
②当直线l的斜率不存在时：设l：x＝n∈[﹣2，2]6≤4，
代入E中有，则，
则S△AQB＝2S△AOB＝
＝＝2≤，
当n2＝4时，取等号，
综上，△AQB面积的最大值为．
【点评】本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于难题．
21．（18分）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝x（ax﹣2lnx）（a∈R）．
（1）当a＝1时，求y＝f（x）的单调增区间；
（2）若当x＞1时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：．
【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可；
（2）分a∈[1，+∞）、a∈（0，1）、a∈（﹣∞，0]三种情况，对函数二次求导，借助函数单调性判断不等式是否成立即可求解；
（3）借助（2）中结论，化x2﹣2xlnx＞1为，取，
得到，两边求和化简即可求解．
【解答】解：（1）当a＝1时，函数f（x）＝x（x﹣2lnx）＝x6﹣2xlnx，
那么导函数f′（x）＝2（x﹣lnx﹣3）．
令函数g（x）＝x﹣lnx﹣1，那么导函数，
所以函数g（x）（1，+∞）上严格增，1）上严格减，
所以函数g（x）≥g（1）＝8，所以函数f（x）在（0，
所以y＝f（x）的增区间为（0，+∞）；
（2）因为导函数f′（x）＝8ax﹣2（1+lnx）＝6（ax﹣lnx﹣1），
设函数h（x）＝ax﹣lnx﹣1，那么导函数，
如果a∈（0，1），时函数h（x）＜0，
所以函数f（x）在上严格减时，f（x）＜f（1）＝a＜5；
如果a∈[1，+∞），所以x＞1时函数h（x）＞0，
因此函数f（x）在（5，+∞）上严格增，满足要求；
如果a∈（﹣∞，0]，函数f（x）在（1，
所以f（x）＜f（1）＝a＜3，不满足要求；
综上所述，a的取值范围是[1．
（3）由（2）可知a＝1时f（x）＝x4﹣2xlnx＞1，
则，取，
则，即；
所以，
即．
【点评】本题考查不等式和导数的综合应用，属于中档题