2025福州山海联盟教学协作体高一上学期11月期中考试数学含解析

这是一份2025福州山海联盟教学协作体高一上学期11月期中考试数学含解析，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
期中考试卷
命题：林连峰 校对:林立榕 时间：120分钟 总分150分
一、单项选择题：(每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知命题，那么命题的否定为（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A B.
C. D.
4. 已知幂函数图象过点，则等于（ ）
A 12B. 19
C. 24D. 36
5. 已知关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
6. 已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
8. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与.
C. 与
D. 与
10. 对于实数、、，下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 下列结论正确的有（ ）
A. 当时，
B. 当时，的最小值是2
C. 当时，的最小值为4
D. 当时，
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知函数，若，则______．
13. 已知幂函数是偶函数，且在0,+∞上是减函数，则______．
14. 设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为______．
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求a的取值范围．
16. 已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值.
17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得年利润最大？并求最大利润.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式.
19. 高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
（1）若，，求和；
（2）证明：“”的充要条件是“”；
（3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围.
山海联盟校教学协作体
2024－2025年第一学期高一年级数学学科
期中考试卷
命题：林连峰 校对:林立榕 时间：120分钟 总分150分
一、单项选择题：(每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知命题，那么命题的否定为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题否定的方法，否定量词也否定结论，可得答案.
【详解】因为命题，
所以命题的否定为: .
故选：D
2. “”是“”（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，再根据充分性和必要性的定义即可判断得解.
【详解】即，所以解得，
充分性：不一定有，如，此时，故充分性不满足；
必要性：，则必有，故满足必要性.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可.
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，
所以或x≥4，
所以，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：.
4. 已知幂函数图象过点，则等于（ ）
A. 12B. 19
C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
分析】根据题意，求得，代入即可求解.
【详解】设幂函数，
因为幂函数图象过点，可得，解得，即，
所以.
故选：D.
5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式.
【详解】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
6. 已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于的不等式，解得的取值范围
【详解】函数的对称轴为
若函数在上是单调递增函数，则
若函数在上是单调递减函数，
解得或
故的取值范围是
故选：C．
7. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 20B. 12C. 16D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
8. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】将条件转化为不等式的解集为，再分类讨论的取值情况，结合根的判别式即可得解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以关于的不等式的解集为.
当，即时，，显然满足题意；
当，则，解得；
综上，，即实数的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与.
C. 与
D. 与
【答案】ABC
【解析】
【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；
对于选项B：的定义域为，
的定义域为，
定义域相同对应关系相同，是同一个函数，故B正确；
对于选项C：的定义域，的定义域，
定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为，
定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.
故选：ABC.
10. 对于实数、、，下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用作差法可判断C选项.
【详解】对于A选项，取，，则，，A选项中的命题为假命题；
对于B选项，取，则，B选项中的命题为假命题；
对于C选项，因为，
则，
因为，但由于，
则，则，
所以，，则，C选项中的命题为真命题；
对于D选项，取，，则，，D选项中的命题为假命题.
故选：ABD.
11. 下列结论正确的有（ ）
A 当时，
B. 当时，的最小值是2
C. 当时，的最小值为4
D. 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】由基本不等式逐项分析即可；
【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当且时取等号，又，故B错误；
对于C，，
但时，，不符合基本不等式的要求，故C错误；
对于D，当时，，，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知函数，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】对实数的取值进行讨论，即可得出关于的式子，求解即可.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，不合题意舍，
所以.
故答案为：.
13. 已知幂函数是偶函数，且在0,+∞上是减函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】因为幂函数是偶函数，
所以且为偶数，
所以或，
又因为幂函数在0,+∞上是减函数，
所以，即，所以.
故答案为：.
14. 设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的条件分析的性质，再根据性质分段解不等式即可.
【详解】由题意偶函数在区间上单调递减，，
所以在区间上单调递增，，
因为，所以或，
即或，
解得或，所以的解集为.
故答案为：.
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求a取值范围．
【答案】（1），或x≥4
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集和补集的定义求解即可；
（2）根据题意分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
当时，，则或x≥4，
因为，所以；
【小问2详解】
当时，成立，此时，解得，
当时，由，得，解得，
综上，.
16. 已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案.
小问1详解】
∵函数是定义在上的奇函数，
∴，且，
∴，
设，则，
∴，
∴，
所以.
【小问2详解】
依题意，，
当时，，
有，所以：
①当时，，
②当时，.
17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.
【答案】（1）
（2）生产万台时，年利润最，最大利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合利润=销售收入-成本，即可得到年利润关于年产量的函数解析式为；
（2）由（1）知，当时，，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意知，年利润关于年产量的函数解析式为：
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，，
由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
所以，当年生产万台时，年利润取得最大值，最大利润为万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式.
【答案】（1），.
（2）函数在上为减函数；证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，且，即可求得解析式；（2）用函数单调性的定义证明即可；（3）由前两问可得函数的单调性，结合已知条件的奇偶性，利用函数性质解不等式.
【小问1详解】
）函数是定义在上的奇函数，，
解得：，
∴，而，解得，
∴，.
【小问2详解】
函数在上为减函数；证明如下：
任意且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数.
【小问3详解】
由题意，不等式可化为，
所以，解得，所以该不等式的解集为.
19. 高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
（1）若，，求和；
（2）证明：“”的充要条件是“”；
（3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据的定义直接运算求解；
（2）根据的定义结合充分必要条件分析证明；
（3）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可.
【小问1详解】
因为，，且，
所以，；
【小问2详解】
若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的充分条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性可知，则，
所以“”是“”的必要条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
【小问3详解】
依题意，，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
又，对，恒成立，
所以，即的取值范围为.