上海市大同中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份上海市大同中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了11，； 2，B； 14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（第1~6题，每题3分；第7~12题，每题4分，共42分）
1．已知，，则________．
2．不等式的解集用区间表示是________．
3．不等式的解集为________．
4．已知，用的代数式表示________．
5．若、是一元二次方程的两个实数根，则________．
6．设，，则________．
7．函数定义域是________．
8．函数（且）的图像过定点________．
9．已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则________．
10．若不等式组的解集是，则的取值范围是________．
11．设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知｛物理，化学，生物｝、｛物理，化学，地理｝、｛政治，历史，地理｝．若，写出一个符合条件的________．
12．已知非零实数、满足，则的取值范围是________．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．1
14．已知令、、，那么、、之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
15．设，“”是“”的一个（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要
16．已知、、，若对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（共4题42分）
17．（本题8分，第（1）题4分，第（2）题4分）
已知命题：函数的定义域为，命题：指数函数是严格增函数，
（1）若是的充分不必要条件，求的取值范围；
（2）当时，若命题、中恰有一个真命题，求的取值范围．
18．（本题10分，第（1）题5分，第（2）题5分）
某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，
（1）用、表示文字宣传区域面积和；
（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
19．（本题12分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）
已知函数的图像是由两支组成的双曲线，
（1）当，作出函数图像；
（2）是否存在实数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数的取值范围．
20（本题12分，第（1）题2分，第（2）题5分，第（3）题5分）
若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分，
（1）写出集合的所有不同的2划分；
（2）设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由；
①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值；
②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值；
（3）设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
12.已知非零实数、满足，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】设，由于,由于,所以,
所以，故所以,
整理得：.故的取值范围为的取值范围.故答案为:.
二、选择题
13.B； 14.C； 15.A； 16.C
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）略 （2） （3）
20.若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分，
（1）写出集合的所有不同的2划分；
（2）设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由；
①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值；
②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值；
（3）设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得．
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）集合的所有不同的2划分为
（2）①可能成立,举例如下:;
②不可能成立,证明如下:假设②成立,不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为,由题可知:,所以,因为为中元素的最大值,所以,
因为为中元素的最小值,所以,因为,所以,
这与矛盾,所以假设不成立，即②不可能成立；
（2）由于集合中有16个元素,所以中至少有一个集合至少包含6个元素,
不妨设中至少包含6个元素,设,且,
假设对任意,对任意,都有,
那么,
又因为,
所以,
则中必有一个集合至少包含中的3个元素,
不妨设这3个元素为,由假设可知:,
对任意,存在,
都有,
又因为,而,与假设矛盾,
所以假设不成立，所以存在,存在,使得