重庆市求精中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间120分钟，总分150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D
2. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理不等式的解法列出不等式组解之可得答案.
【详解】由题意得
，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查无理不等式的解法，对于型，可以转化为去解，考查了学生的计算能力.
4. 下列各组函数中f（x）和表示相同函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断.
【详解】对A：的定义域为R，的定义域为，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A错误；
对B：∵，解得或，则的定义域为，
又∵，解得，则的定义域为，
则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B错误；
对C：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C错误；
对D：的定义域为R，的定义域为R，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D正确；
故选：D.
5. 已知实数，则函数的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解.
【详解】实数，
，
当且仅当，即时等号成立，
函数的最小值为6.
故选：B.
6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】令，则，
随的增大而增大，要使在上单调递增，
只需上单调递增，则有，所以．
故选：A.
7. 求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（ ）人
A. 16B. 18C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.
【详解】设心理社A，地理社为B，动漫社为C，
则，
，
得
即，得，
所以只参加一个社团的人数共有.
故选：C
8. 设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的单调性，由可得，分、两种情况讨论，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】对任意的、，有，
不妨设，则，，则，
所以，函数在上为增函数，
又因为函数为偶函数，则该函数在上为减函数，
因为，则，
由知，
当时，，可得；
当时，，可得，
所以，不等式的解集为.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于任意实数，，，，下列四个命题中为假命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、D，根据不等式的性质判断B、C.
【详解】对于A ，当时，满足条件，，但是，所以A为假命题；
对于B，因为，所以，所以，所以成立，所以B为真命题；
对于C，因为，所以且，所以，所以C为真命题；
对于D，当，，，时，满足条件，，但是，所以D为假命题．
故选：AD．
10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 函数为增函数B. 函数为偶函数
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
11. 某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（ ）
A. 等式对x∈R恒成立；
B. 若，则一定有；
C. 若，方程有两个不等实数根；
D. 函数在R上有三个零点．
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性进行判断，对于B，通过判断函数的单调性分析判断，对于C，由的奇偶性和单调性，结合函数的值域分析判断，对于D，由的奇偶性和单调性分析判断.
【详解】对于A，因为，
所以是奇函数，故对恒成立，所以A正确；
对于B，当时，，因为在上递减，
所以在上递增，
因为是奇函数，所以在上也是增函数，
而，的图象连续，所以在上为单调递增函数，
所以，则一定有成立，所以B正确；
对于C，因为，所以为偶函数，
当时，，因为在为单调递增函数，
所以在上单调递减，
当时，，
因为，所以，所以，则，
因为，为偶函数，所以，
所以当时有两个不相等的实数根，当时不可能有两个不等的实数根，所以C错误；
对于D，因为，所以为奇函数，
当时，，
因为为奇函数，所以当时，，
因为，所以函数在R上有一个零点，所以D错误；
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数与方程，解题的关键是对函数奇偶性和单调性的正确判断，然后利用奇偶性和单调性的性质求解，考查计算能力，属于较难题.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：______.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】;
故答案为：
13. 已知，则的解析式________．
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，联立求解.
【详解】解：因为，
所以，
两式联立解得：，
故答案为：
14. 设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据，可知，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得实数的取值范围.
【详解】根据，可知，
当时，，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
此时恒成立
画出局部函数图象如图所示：
当时，，解得：或，
要存在，使得有解，只需，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解；
（2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解.
【小问1详解】
函数，则，
所以.
【小问2详解】
函数，
由可得或或，
解得或或，
所以a的取值范围是.
16. 集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合A，B，再求两集合的交集即可；
（2）求出集合A的补集，由是的充分不必要条件，可得，从而得，解不等式组可得答案
【详解】（1）由得即，解得或，
所以或；
当时，，由得，即，
所以，
所以或.
（2）∵或，∴，
由，得，∴
是的充分不必要条件
∴，
∴，解得，
∴的范围为
17. 设，函数.
（1）若函数y=fx是奇函数，求的值；
（2）若，求函数的定义域和值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义可得，建立方程，解之可得，验证即可；
（2）由题意可得，根据指数函数的性质即可求解.
【小问1详解】
若为奇函数，则，
得，整理得，解得.
经检验，当时，符合题意.
所以.
【小问2详解】
当时，，
由，得，即的定义域为；
，
又，所以，
令，则，得，
解得或，
即的值域为.
18. 已知.
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，解不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）转化为解集为R，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出实数a的取值范围；
（2），分，，，得到不等式的解集.
【小问1详解】
对一切实数x恒成立，
则，所以不等式的解集为R，
当时，不等式为，解集为R；符合题意；
当时，则，解得
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
，即，
若，则，解集为，
若，则，解集为或x>1
若，所以，因为，
所以，当时，，解集为，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
综上：当，的解集为或x>1；
当，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
19. 已知真命题：“函数y=fx图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.
（1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数y=fx的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题.（不必证明）
【答案】（1）
（2）
（3）此命题为假，理由见解析，修改后的命题见解析
【解析】
【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为，整理得，为奇函数，利用题设即可下结论．
（2）设的对称中心为，由题设知是奇函数，从而求出的值，即可得出图象对称中心的坐标．
（3）此命题是假命题．举反例说明：函数的图象关于直线成轴对称图象，但是对任意实数，函数总不是偶函数．修改后的真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”．
【小问1详解】
平移后图象对应的函数解析式为，
整理得，为奇函数，
由题设真命题知，函数图象对称中心的坐标是．
【小问2详解】
设的对称中心为，由题设知函数是奇函数．
设，
则，
由不等式的定义域为，关于原点对称，则，得．
此时（）．
任取，由，即，
解得，
所以函数图象对称中心的坐标是．
【小问3详解】
此命题假命题．
举反例说明:函数的图象关于直线成轴对称图象，
但是对任意实数，函数，即总不是偶函数．
修改后的真命题:“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.