浙江省杭州市拱墅区慧澜中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区慧澜中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷，共25页。
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，5D．5，12，17
3．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a+2＜b+2B．a﹣2＜b﹣2C．2a＜2bD．﹣2a＜﹣2b
4．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形的两底角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5．（3分）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a＞3C．a≥3D．a≤3
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90°B．∠1＝30°C．∠1＝∠4D．∠2＝∠3
7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
9．（3分）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则△BCD的面积为（ ）
A．96B．48C．32D．16
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠CAD＝30°；②∠PAD+∠PEC＝30°；③△PAE为等边三角形；④CE＝CP+2PD．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）用不等式表示“x的4倍大于3”为 ．
12．（3分）如果等腰三角形两边长分别为3和6，那么这个等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，若BC＝3，AC＝4，则CD＝ ．
14．（3分）如图，△ABC≌△ADE，点B的对应点点D落在边BC上，若∠B＝61°，则∠EDC的度数是 ．
15．（3分）如图，货车车高AC＝4m，卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A、B、C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝2m，则BC＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，且EG＝GC．若∠BEC＝126°，则∠B的度数是 ．
三.解答题（共8题，共72分，解答应写出演算步骤）
17．（8分）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC的边BC上的高AD；
（2）△ABC的面积为 ．
18．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD．
（1）求证：AB＝DE．
（2）若∠A＝34°，∠EFD＝105°，求∠B的度数．
19．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状，请说明理由；
（2）若a＝2，b＝5，且c是奇数，求△ABC的周长．
20．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'．
求证：（1）Rt△ACD≌Rt△A'C'D'；
（2）Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
21．（8分）如图，小明的一款等腰直角三角板形状的玩具，恰好落在了两堆竖直摆放的砖块之间．
（1）证明：△ADC≌△CEB；
（2）小明通过测量发现，两堆砖块之间的空隙DE＝54cm．请你帮小明求出每块砖的厚度大小（每块砖的厚度相等）．
22．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD＝6，求DF的长．
23．（10分）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2，△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD．
（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD，求证：AD平分∠CAB．
24．（12分）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）求∠ACB的度数；
（2）当点D在射线AM上运动时满足AD：CE＝2：3，求点D，E的运动时间t的值；
（3）当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区慧澜中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）以下新能源汽车标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．1，1，3B．2，3，5C．3，4，5D．5，12，17
【分析】根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：A．∵1+1＝2＜3，
∴以1，1，3为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．∵2+3＝5，
∴以2，3，5为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．∵3+4＝7＞5，
∴以3，4，5为边能组成三角形，故本选项符合题意；
D．∵5+12＝17，
∴以5，12，17为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．
3．（3分）若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a+2＜b+2B．a﹣2＜b﹣2C．2a＜2bD．﹣2a＜﹣2b
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：已知a＞b，
A、a+2＞b+2，故A选项错误；
B、a﹣2＞b﹣2，故B选项错误；
C、2a＞2b，故C选项错误；
D、﹣2a＜﹣2b，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．解题时注意不等号是否变方向．
4．（3分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形的两底角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；
B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（3分）若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a＞3C．a≥3D．a≤3
【分析】利用不等式的性质判断即可．
【解答】解：∵若x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，
∴a﹣3＜0，
∴a＜3，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90°B．∠1＝30°C．∠1＝∠4D．∠2＝∠3
【分析】在Rt△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠1+∠2＝90°，由CD⊥AB于点D，可得出∠ADC＝∠BDC＝90°，利用三角形内角和定理，可得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再结合等角的余角相等，即可得出∠1＝∠4，∠2＝∠3，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°；
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3．
∴不一定成立的是∠1＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及余角，利用“三角形内角和是180°”及“等角的余角相等”，找出∠1+∠2＝90°，∠1＝∠4，∠2＝∠3是解题的关键．
7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE就是∠PRQ的平分线，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
9．（3分）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则△BCD的面积为（ ）
A．96B．48C．32D．16
【分析】根据等腰三角形的判定和性质求出BD，再根据勾股定理求出CE，最后根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，
∴△DCB是等腰三角形，
∴DC＝CB，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝DB，
∵AC＝AD+DC＝DB+DC＝22，
∵△BCD的周长＝DC+DB+CB＝34，
∴CB＝32﹣22＝10，
∴DC＝10，
∴BD＝22﹣10＝12，
∴DE＝BD＝×12＝6，
∴CE＝＝＝8，
∴△BCD的面积为BD•CE＝×12×8＝48，
故选：B．
【点评】此题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠CAD＝30°；②∠PAD+∠PEC＝30°；③△PAE为等边三角形；④CE＝CP+2PD．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①②；由三角形内角和定理可求∠PEA＝∠PAE＝60°，可判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，由“SAS”可证△P′AC≌△∠EAC，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，根据对称性质即可判断④．
【解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，
∵AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠CAD＝∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①②正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE＝∠PEA＝60°，
∴△PAE是等边三角形，
故③正确；
如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD＝P′D，
∵CD⊥AB，
∴C、P、D、P′共线，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴CE﹣CP＝2PD．
故④正确；
所以其中正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
二.填空题（共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）用不等式表示“x的4倍大于3”为 4x＞3 ．
【分析】根据题意，可以用含x的代数式表示出x的4倍大于3．
【解答】解：x的4倍大于3可以表示为4x＞3，
故答案为：4x＞3．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
12．（3分）如果等腰三角形两边长分别为3和6，那么这个等腰三角形的周长为 15 ．
【分析】由于未说明两边长哪个是腰长哪个是底边长，故需分情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：（1）当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时，3+3＝6，不能够组成三角形．
（2）当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时，3，6，6能够组成三角形，此时周长为6+6+3＝15．
则这个等腰三角形的周长是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰长和底边长的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，若BC＝3，AC＝4，则CD＝ 1 ．
【分析】依题意得△ABC≌△BED，则BD＝AC＝7，然后再根据CD＝BD﹣BC即可得出答案．
【解答】解：如图所示的“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴△ABC≌△BED，
∴BD＝AC＝4，
又∵BC＝3，
∴CD＝BD﹣BC＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．
14．（3分）如图，△ABC≌△ADE，点B的对应点点D落在边BC上，若∠B＝61°，则∠EDC的度数是 58° ．
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝61°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝61°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝58°．
故答案为：58°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15．（3分）如图，货车车高AC＝4m，卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A、B、C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝2m，则BC＝ 1.5m ．
【分析】设BC＝x m，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2，进而解答即可．
【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA1＝90°，
设BC＝x m，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5．
答：BC的长为1.5m．
故答案为：1.5．
【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，且EG＝GC．若∠BEC＝126°，则∠B的度数是 36° ．
【分析】连接DE，如图所示，证得DG是线段CE的垂直平分线，得到DE＝DC，根据等腰三角形的性质有∠DEG＝∠DCG，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到BE＝DE，从而∠B＝∠EDB，结合三角形外角性质有∠BDE＝2∠DCG，最后根据三角形内角和定理得到3α+126°＝180°，解方程求出α＝8°，从而得到∠B的度数．
【解答】解：连接DE，如图所示：
∵DG⊥CE于点G，且EG＝GC，
∴DG是线段CE的垂直平分线，
∴DE＝DC，
∴∠DEG＝∠DCG，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，CE是AB边上的中线，
∴BE＝DE，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠BDE是△CDE的一个外角，
∴∠BDE＝2∠DCG，
设∠DCG＝α，则∠B＝2α，
在△BCE中，∠BEC＝126°，
∵3α+126°＝180°，
解得α＝18°，
∴∠B＝2α＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查角的计算，三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题意准确作出辅助线，并灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键．
三.解答题（共8题，共72分，解答应写出演算步骤）
17．（8分）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC的边BC上的高AD；
（2）△ABC的面积为 8 ．
【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；
（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：AD即为所求；
（2）S△ABC＝＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．
18．（8分）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD．
（1）求证：AB＝DE．
（2）若∠A＝34°，∠EFD＝105°，求∠B的度数．
【分析】（1）由AF＝CD可得AC＝DF，再根据AAS证明△ABC≌△DEF，即可得AB＝DE；
（2）根据“全等三角形对应角相等”可得∠BCA＝∠EFD＝105°，再根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE．
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠BCA＝∠EFD＝105°，
∵∠A＝34°，
∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠A＝180°﹣105°﹣34°＝41°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是证明△ABC≌△DEF（AAS）．
19．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状，请说明理由；
（2）若a＝2，b＝5，且c是奇数，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC的三边长分别为a，b，c，a＝2，b＝5，
∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∵c为奇数，
∴c＝5，
∴△ABC的周长＝5+2+5＝12．
【点评】本题考查的是三角形三边关系，非负数的性质：绝对值，熟知以上知识是解题的关键．
20．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'．
求证：（1）Rt△ACD≌Rt△A'C'D'；
（2）Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ACD和Rt△A'C'D'全等；
（2）由（1）Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，进而利用全等三角形的性质得出CD＝C'D'，进而利用SAS证明全等即可．
【解答】证明：（1）在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL）；
（2）由（1）得Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，
∴CD＝C'D'，
∵AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，
∴CB＝C'B'，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．
【点评】此题考查直角三角形全等的判定，关键是根据HL证明Rt△ACD和Rt△A'C'D'全等解答．
21．（8分）如图，小明的一款等腰直角三角板形状的玩具，恰好落在了两堆竖直摆放的砖块之间．
（1）证明：△ADC≌△CEB；
（2）小明通过测量发现，两堆砖块之间的空隙DE＝54cm．请你帮小明求出每块砖的厚度大小（每块砖的厚度相等）．
【分析】（1）由题意知∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，即可得出∠BCE＝∠DAC，即可得证；
（2）由（1）知DC＝BE，CE＝AD，则AD+BE＝CE+DC＝DE即可解答．
【解答】（1）证明：由题意知：∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：设每块砖的厚度为a cm，
由（1）知DC＝BE，CE＝AD，
∴AD+BE＝CE+DC＝DE＝9a＝54cm，
∴a＝6cm．
答：每块砖的厚度为6cm．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题关键．
22．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD＝6，求DF的长．
【分析】（1）根性等边三角形的性质及直角三角形的性质可得答案；
（2）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到△CEF为等腰三角形；
（3）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°．
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°．
（2）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF；
∴△CEF为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝6．
又∵CE＝CF，
∴CF＝6．
∴DF＝DC+CF＝6+6＝12．
【点评】此题考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
23．（10分）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2，△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD．
（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD，求证：AD平分∠CAB．
【分析】（1）根据共边直角三角形的概念作图；
（2）连接AE，DE，根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可；
（3）分别延长AC、BD交于点F，证明BD＝DF，根据等腰三角形的性质证明．
【解答】（1）解：作出△ABC的共边直角三角形如图1所示△ABD即为所求作的三角形（答案不唯一）；
（2）证明：如图2，连接AE，DE，
∵E点是BC中点，
∴AE，DE分别是Rt△ABC和Rt△DBC斜边上的中线，
∴，，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形，
∵F点是AD中点，
∴EF⊥AD；
（3）证明：分别延长AC、BD交于点F，
∵BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵∠F+∠DBC＝90°，∠DCF+∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠DCF，
∴DC＝DF，
∴BD＝DF，
又∵AD⊥BF，
∴AB＝AF，
又∵AD⊥BF，
∴AD平分∠CAB．
【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答．
24．（12分）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）求∠ACB的度数；
（2）当点D在射线AM上运动时满足AD：CE＝2：3，求点D，E的运动时间t的值；
（3）当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
（2）得到AD＝t，AE＝2t，利用AD：CE＝2：3得到t：|6﹣2t|＝2：3，解方程即可解决问题；
（3）存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AM⊥AN，
∴∠MAN＝90°，
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAC＝45°，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°；
（2）∵动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t，
∴AD＝t，AE＝2t，
∵AD：CE＝2：3，
∴t：|6﹣2t|＝2：3，
∴或t＝12；
（3）存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等；理由如下：
∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2s，
∴满足条件的t的值为2s．
此时，AD＝2，AE＝4，
由勾股定理，得：DE2＝AD2+AE2＝20，
∴DE＝2，
∵△ADB≌△CEB，
∴BD＝BE，∠ABD＝∠CBE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE＝．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．