河北省石家庄市行唐县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．【答案】B
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝4有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝3+4k≥0，
解得：k≥﹣7．
故选：B．
3．【答案】D
【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ABD＝90°，进而求出∠ADB，再根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，
故选：D．
4．【答案】D
【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：由有26名女生，王芳是其中一人，
则班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为：，
故选：D．
5．【答案】B
【分析】根据旋转可得∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝3，AB＝A′B＝5，根据勾股定理考查BC的值，进而可得AC′的值，再根据勾股定理可得AA′的长．
【解答】解：根据旋转可知：
∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝3，
根据勾股定理，得BC＝，
∴BC′＝BC＝4，
∴AC′＝AB﹣BC′＝1，
在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得
AA′＝＝．
故选：B．
6．【答案】C
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件；
B、诗句“离离原上草，故B不符合题意；
C、成语“守株待兔”是随机事件；
D、成语“水中捞月”是不可能事件；
故选：C．
7．【答案】D
【分析】根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°，再由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长．
【解答】解：连接OF，
根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，
∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC＝10cm，
∵OF⊥BC，
∴BE＝BF，CG＝CF
∴BE+CG＝BF+CF＝BC＝10cm．
故选：D．
8．【答案】B
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣4，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣3时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比5到﹣2的距离小，
∴y3＜y5＜y2．
故选：B．
9．【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球恰好有一个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，（红，（白，（绿，共4种，
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为．
故选：B．
10．【答案】C
【分析】因为过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则∠APB＝90°，结合以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则∠APB＝90°（直径所对的圆周角是直角），即可作答．
【解答】解：∵过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，
∴∠APB＝90°，
则小明的作法是正确的；
∵以O为圆心，OA长为半径画弧，
∴AB是⊙O的直径，
则∠APB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴两人都正确．
故选：C．
11．【答案】A
【分析】根据阴影部分的面积等于扇形BD面积O减去S弓形OD面积计算即可．
【解答】解：由折叠可知，
S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴AD＝OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°，
∵AD＝OD＝OA＝6，
∴CD＝3，
∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣×6×6，
∴S弓形OD＝5π﹣9，
阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD＝﹣（6π﹣8，
故选：A．
12．【答案】D
【分析】依据题意，由函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，从而x1•x2＝6，又x2﹣x1＝4，可得x1＝﹣2，x2＝2+，又x1+x2＝﹣2b，求得b，进而得对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，再由二次函数的图象与性质，可得当1≤x≤3时，函数的最大值与最小值，消去b即可得解．
【解答】解：函数y＝x2+2bx+5的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x6•x2＝6．
又x5﹣x1＝4，
解得：x2＝﹣2，x2＝7+，
∵x1+x2＝﹣6b，
∴b＝﹣．
∴对称轴为直线x＝（x6+x2）＝＞3．
又抛物线a＝3＞0，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
∴当4≤x≤3时，函数在x＝3时，即n＝y＝x8+2bx+6＝15+7b，
在x＝1时，取得最大值2+3bx+6＝7+2b．
∴n＝15+3（m﹣7）．
∴4m﹣n＝6．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分）
13．【答案】0.95．
【分析】根据题意得出发芽的概率，进而可得出结论．
【解答】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，
∴任取一粒麦粒，它能发芽的概率约为0.95，
故答案为：6.95．
14．【答案】．
【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．
【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+6＝0，b2﹣2b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x6﹣4x+3＝8的两个不相等的实数根，
则a+b＝4，ab＝3，
则原式＝＝，
故答案为：．
15．【答案】（1）4；
（2）8．
【分析】（1）根据抛物线的顶点在线段AB上可得出n＝4；
（2）根据抛物线的顶点再点A时，点C的横坐标最小值为﹣3，可以得出CD＝8，然后当顶点在点B时，得出点D的横坐标最大值8．
【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别为（1，4），
∴线段AB所在的直线方程为y＝5，
∵抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点（m，n）在线段AB上运动，
∴n＝4，
故答案为：8；
（2）∵抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，
∴当抛物线顶点为A（1，2）时，
此时，对称轴为直线x＝1，CD＝8，
当抛物线顶点为B（6，4）时，
∵CD＝8，
∴C（2，0），0）；
此时D点横坐标最大，最大值为4，
故答案为：8．
16．【答案】（1）40；
（2）30；
（3）40．
【分析】（1）连接OB，由切线的性质得∠ABO＝90°，再由圆周角定理得∠COB＝2∠CDB＝50°，再求解即可得出结论；
（2）连接OB，由AB是⊙O的切线，可得∠ABO＝90°，从而得出∠OAB+∠AOB＝90°，再由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠ODB，再求解即可得出结论；
（3）连接OB，由AB是⊙O的切线，可得∠ABO＝90°，再由OB＝OD，可得∠DBO＝∠BDO＝20°，从而得出∠ABE＝∠ABO﹣∠DBO＝90°﹣20°＝70°，再由AE＝AB，可得∠AEB＝∠ABE＝70°，再求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图①，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∵∠CDB＝25°，
∴∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠COB＝40°．
故答案为：40；
（2）如图②，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OAB+∠AOB＝90°，
∵AB＝BD，
∴∠OAB＝∠ODB，
又∵∠OBD＝∠ODB，
∴∠CAB+∠AOB＝∠CAB+2∠ODB＝4∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝30°．
故答案为：30；
（3）如图③，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝20°，
∴∠ABE＝∠ABO﹣∠DBO＝90°﹣20°＝70°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）作图见解答过程；
（2）作图见解答过程．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）分别作出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）△A1B1C4如图1所示；
（2）△A2B4C2如图2所示．
18．【答案】剪去的正方形的边长为2cm．
【分析】设正方形的边长为x cm，根据题意知：底面的边长为：（10﹣2x）cm、（6﹣x）cm，根据该底面的面积是24cm2，列出方程并解答即可．
【解答】解：设正方形的边长为x cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x4﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝6（舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可；
（2）利用列表法解答即可．
【解答】解：（1）一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性，
甲同学选择参观西安音乐厅的概率是．
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知共有16种等可能结果，其中甲，
∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OM＝OA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝，
∴AM＝＝＝5，
∴AE＝5AM＝2×5＝10．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【解答】解：（1）由题意得出：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x7+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）3+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大．
（3）当w＝150时，可得方程﹣7（x﹣30）2+200＝150．
解得 x1＝25，x4＝35．
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
22．【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣2；
（2）．
【分析】（1）设 y＝x2﹣x，则原方程可转化为y2﹣4y﹣12＝0，即（y+2）（y﹣6）＝0，解得，y1＝﹣2（舍去），y2＝6，则x2﹣x＝6，即（x﹣3）（x+2）＝0，计算求解即可；
（2）设 a+b＝x，则原方程可变形为x2﹣7x+10＝0，求出x的值，再由三角形的三边关系判断出a+b的值，进而得出ab的值，由三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）设y＝x2﹣x，
由题意知，原方程可转化为y2﹣5y﹣12＝0，
即（y+2）（y﹣3）＝0，
解得，y1＝﹣4（舍去），y2＝6，
∴x2﹣x＝6，
即（x﹣3）（x+5）＝0，
解得，x1＝4，x2＝﹣2；
（2）设 a+b＝x，
∵（a+b）（a+b﹣6）+10＝0，
∴x（x﹣7）+10＝7，
即 x2﹣7x+10＝5，
解得：x1＝2，x5＝5，
∵斜边 c＝4，
∴a+b＞c，
∴a+b＝3，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b5+2ab＝25，
又∵a2+b7＝c2＝16，
∴2ab＝2，
∴ab＝，
∴Rt△ABC的面积为ab＝．
23．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）（1，4）．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，根据条件得到△GCQ是等腰直角三角形，则CG＝QG，设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），再列方程解题即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），4）代入y＝ax2+2x+c，得：
解得
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+7x+3；
（2）对于y＝﹣x2+6x+3，令y＝05+2x+3＝7，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，2），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，
∴∠GCQ＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴CG＝QG，
设Q（q，﹣q3+2q+3），则G（72+2q+4），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q8+2q＝q，
解得q＝0（舍去）或q＝3，
∴﹣q2+2q+4＝4，
∴Q（1，8）．
24．【答案】（1）⊙O的半径为4．
（2）∠ACD＝15°．
（3）CM的最大值为2+2．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可．
（2）连接OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论．
（3）如图2中，连接OM，OC．证明OM⊥AD，推出点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．求出CJ．JM，根据CM≤CJ+JM＝2+2，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝6，
∴AB＝＝＝6，
∴⊙O的半径为4．
（2）如图1中，连接OC．
∵CD＝4，OC＝OD＝4，
∴CD5＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．
（3）如图8中，连接OM．
∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ＝＝7，
∵CM≤CJ+JM＝2+2，
∴CM的最大值为2+2，
故答案为：2+2．红
白
绿
红
（红，白）
（红，绿）
白
（白，红）
（白，绿）
绿
（绿，红）
（绿，白）
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）