天津南开中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

这是一份天津南开中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．第I卷1至3页，第II卷3至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题纸交回．
祝各位考生考试顺利！
第I卷(共45分)
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，集合，则（ ）．
A． B．
C． D．
（2）已知，“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（3）函数的图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
（4）对变量记录观测数据，并绘制散点图如图1所示；对变量记录观测数据，并绘制散点图如图2所示．用分别表示变量之间与变量之间的样本相关系数，则下列说法正确的是（ ）．
变量与呈现正相关，且
B．变量与呈现负相关，且
C．变量与呈现正相关，且
D．变量与呈现负相关，且
（5）已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
（6）已知，，，则的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
（7）已知数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则的值为（ ）．
A． B．4 C．2 D．
（8）定义在上的函数满足，对任意的，，恒有，则关于的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
（9）已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）．
A. B． C． D．
第II卷（共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．
（10）是虚数单位，复数满足 ，则 _________．
（11）在的展开式中，常数项为 ．
（12）口袋里有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一球，记下它的号码后放回袋中，这样连续操作三次．若每次取到各个小球的可能性相等，记事件“三次抽到的号码不全相同”，则 ；记事件“三次抽到的号码之和为7”，则 ．（用数字作答）
（13）如图，已知的面积为，，若，点分别为边中点，则的最大值为 ．
（14）已知数列满足，且，，，则 ；记的前项和为，则 ．
已知，，若函数有两个零点分别为，且，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分14分）
在中，角的所对的边分别为，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，且.
（i）求的值；
（ii）求的值．
（17）（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，．
（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值．
（18）（本小题满分15分）
已知椭圆过点，其长轴长为，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
（19）（本小题满分15分）
已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）对任意的正整数，设记数列的前项和为，求.
（Ⅲ）设，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．
（20）（本小题满分16分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间内无零点，求的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的在上总存在两个不同的,使得成立，求的取值范围．
高三数学学科第二次月考答案：
ABDCC AABD
10. ; 11. 12.; 13. 14. 15.
16. (I)
，得，
即，故.
(II) 因为的面积，
所以，解得，
所以由余弦定理得，即，
所以，由正弦定理得
所以，
(ii)
,,
.
17.（1）取的中点为，连接，
因为为中点，所以，
而，，则，，故，
所以，则四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面；
（2）在直三棱柱中，，故两两垂直，
以所在直线为轴建立空间直坐标系，
，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
(3)
设平面的法向量为,则，
令，则，
,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. (1)由题意， ，所以
所以椭圆的方程为.
（2）由题意直线的斜率存在，设直线，，，
由得：，
则，即，
，；
由（1）知：，直线方程为：，
令，解得：，即；
同理可得：，，
即，解得：，
此时，即或，满足题意；
，恒过定点.
19. （1）由得方程组，解得
（2）,
设，
（3）
设
20解：（Ⅰ）当
所以，所以切线方程为.
（Ⅱ）∵函数上无零点，
∴对任意的恒成立，或者恒成立，
因为上恒成立不可能，所以恒成立.
令则

综上，若函数
（III）
所以，函数
故 ①
此时，当的变化情况如下：

由①可知
，
即对任意，②恒成立.
由③式解得： ④
综合①④可知，当在上总存在两个不同的使成立.

—
0
+

最小值